Гомеоморфизмов группа

группа [img: http://localhost:8080/file/010421-124.jpg] гомеоморфных отображений топология, пространства X на себя. Если X - компактное многообразие, то алгебраич. свойства группы [img: http://localhost:8080/file/010421-125.jpg], а именно, структура ее нормальных делителей, определяют X с точностью до гомеоморфизма (см. [1]). В частности, при [img: http://localhost:8080/file/010421-126.jpg] известно, что группа [img: http://localhost:8080/file/010421-127.jpg] есть простая группа. Это верно также для канторова множества, кривой Мен-гера, кривой Серпинского, множеств рациональных и иррациональных точек на прямой [2]. Для многообразия Мминимальным нормальным делителем в [img: http://localhost:8080/file/010421-128.jpg] служит подгруппа, порожденная гомеоморфизмами, тождественными вне областей М. Группа [img: http://localhost:8080/file/010421-129.jpg] может быть топологизирована различным образом (сы. Пространства отображений). Основное значение имеют бикомпактно открытая топология и (если Xметризуемо) тонкая [img: http://localhost:8080/file/010421-130.jpg] -топология, в к-рой окрестности тождества [img: http://localhost:8080/file/010421-131.jpg] задаются строго положительными функциями [img: http://localhost:8080/file/010421-132.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/010421-133.jpg] входит в [img: http://localhost:8080/file/010421-134.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/010421-135.jpg] для всех х, где [img: http://localhost:8080/file/010421-136.jpg] - метрика в [img: http://localhost:8080/file/010421-137.jpg]. Однако группа [img: http://localhost:8080/file/010421-138.jpg] не обязана быть топологической группой в этих топологиях, так как отображение [img: http://localhost:8080/file/010421-139.jpg] не всегда непрерывно, и даже если это так, то [img: http://localhost:8080/file/010421-140.jpg] может не быть топологич. группой преобразований, т. е. отображение [img: http://localhost:8080/file/010421-141.jpg] может быть разрывным (см. [3]). Но если X- многообразие, то [img: http://localhost:8080/file/010421-142.jpg] является топологич. группой преобразований в обеих указанных топологиях. Изучение топологич. свойств группы [img: http://localhost:8080/file/010421-143.jpg] представляет интерес, в первую очередь, для однородного пространства X, т. е. такого, что действие группы [img: http://localhost:8080/file/010421-144.jpg] на Xтранзитивно. Однако такое изучение проведено далеко не полностью даже для простых многообразий. Неизвестно, напр, (к 1977), будет ли [img: http://localhost:8080/file/010421-145.jpg] бесконечномерным многообразием, хотя оно будет (для метризуемого многообразия) локально стягиваемым в тонкой [img: http://localhost:8080/file/010421-146.jpg] -топологии (см. [4]). В частности, два достаточно близких гомеоморфизма соединимы изотопией. Для открытых многообразий, к-рые являются внутренностью компактных многообразий, это верно также и в бикомпактно открытой топологии. Факторгруппа [img: http://localhost:8080/file/010421-147.jpg] группы [img: http://localhost:8080/file/010421-148.jpg] по компоненте тождества [img: http://localhost:8080/file/010421-149.jpg] наз. группой гомеотопий пространства X. Вообще говоря, [img: http://localhost:8080/file/010421-150.jpg] не совпадает с Г. г., гомотопных тождеству, но это так для двумерных и нек-рых трехмерных многообразий (напр., для [img: http://localhost:8080/file/010421-151.jpg] и др.). Гомотопич. свойства [img: http://localhost:8080/file/010421-152.jpg] изучены для двумерных многообразий, что оказалось полезным для установления гомологич. свойств групп кос (см. Кос теория). Особое значение в топологии многообразий имеет изучение нек-рых подгрупп группы [img: http://localhost:8080/file/010421-153.jpg], напр, подгруппы диффеоморфизмов. Это изучение затруднено тем, что подгруппы оказываются незамкнутыми, и топология факторпространств неудовлетворительна. Ввиду этого рассматривают полусимплнциадьные группы (ss-группы) Тор n, в к-рых k-мерными симплексами служат послойные гомеоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/010421-154.jpg], неподвижные на нулевом сечении (где [img: http://localhost:8080/file/010421-155.jpg] - стандартный k- симплекс). Граничные гомеоморфизмы и вырождения определяются с помощью стандартных отображений [img: http://localhost:8080/file/010421-156.jpg] Аналогично определяются ss-моноид [img: http://localhost:8080/file/010421-157.jpg] (гомотопич. эквивалентностей [img: http://localhost:8080/file/010421-158.jpg] кусочно линейных, гладких и ортогональных отображений [img: http://localhost:8080/file/010421-159.jpg]), причем [img: http://localhost:8080/file/010421-160.jpg] и факторы [img: http://localhost:8080/file/010421-161.jpg] и т. д. обладают естественными структурами ss-комплексов, что позволяет проводить изучение гомотопич. свойств этих вложений. Изучение различных подгрупп [img: http://localhost:8080/file/010421-162.jpg] для многообразий Мсоставляет предмет ряда дисциплин. В частности, изучение Г. г., сохраняющих определенные структуры, относится к соответствующим разделам математики. Большой интерес представляют алгебраич. задачи, связанные с группами автоморфизмов деревьев и других графов.