Гомоклиническая точка

такая точка ([img: http://localhost:8080/file/010421-163.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010421-164.jpg]), принадлежащая области определения функции Гамильтона' [img: http://localhost:8080/file/010421-165.jpg] гамильтоновой системы, [img: http://localhost:8080/file/010421-166.jpg] что решение системы (*), проходящее через эту точку, при [img: http://localhost:8080/file/010421-167.jpg] асимптотически приближается к нек-рому периодич. решению [img: http://localhost:8080/file/010421-168.jpg]. При этом само решение, проходящее через Г. т., наз. гомоклиническим. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010421-169.jpg] - поверхность, образованная решениями системы (*), к-рые при [img: http://localhost:8080/file/010421-170.jpg] асимптотически приближаются к перподич. решению [img: http://localhost:8080/file/010421-171.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010421-172.jpg] _ - поверхность, образованная решениями системы [img: http://localhost:8080/file/010421-173.jpg], к-рые асимптотически приближаются к этому же периодич. решению при [img: http://localhost:8080/file/010421-174.jpg]. Тогда множество [img: http://localhost:8080/file/010421-175.jpg] состоит из гомоклинич. решений. Если хотя бы вдоль одного гомоклинич. решения поверхности [img: http://localhost:8080/file/010421-176.jpg] пересекаются (или имеют касание нечетного порядка), то множество [img: http://localhost:8080/file/010421-177.jpg] содержит бесконечно много различных решений. Случай, когда множество [img: http://localhost:8080/file/010421-178.jpg] состоит из счетного числа решений, является грубым, т. е. сохраняется при малом изменении функции Н. Случай, когда [img: http://localhost:8080/file/010421-179.jpg] содержит несчетное число различных решений, является негрубым, или вырожденным. При этом предполагается, что само периодич. решение [img: http://localhost:8080/file/010421-180.jpg] и поверхности [img: http://localhost:8080/file/010421-181.jpg] сохраняются при малом изменении функции [img: http://localhost:8080/file/010421-182.jpg]. Это будет иметь место, напр., если периодич. решение [img: http://localhost:8080/file/010421-183.jpg] принадлежит к гиперболич. типу (см. Гиперболическая точка). Нахождение гомоклинич. решений системы (*) с произвольной функцией Гамильтона Нпредставляет собой трудную задачу. Однако в случае, когда переменные [img: http://localhost:8080/file/010421-184.jpg] можно выбрать так, что справедливо равенство [img: http://localhost:8080/file/010421-185.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010421-186.jpg] - малый параметр, а функция [img: http://localhost:8080/file/010421-187.jpg] является [img: http://localhost:8080/file/010421-188.jpg] периодической по переменным q, гомоклинич. решения системы (*) могут быть найдены в виде сходящихся рядов (см. [3] при ст. Гетероклиническая точка). Доказательства существования гомоклинич. решений у системы (*) получены при менее огранительных предположениях о функции Гамильтона системы (*). Данное выше определение Г. т. почти дословно переносится на случай гамильтоновой системы с числом степеней свободы [img: http://localhost:8080/file/010421-189.jpg], если периодич. решение [img: http://localhost:8080/file/010421-190.jpg] заменить k-мерным инвариантным тором [img: http://localhost:8080/file/010421-191.jpg] Известно, что (n- 1)-мерные инвариантные торы обладают гомоклинич. решениями, если эти торы принадлежат к гиперболич. типу. Окрестность гомоклинич. решения имеет сложное строение. Так, напр., в случае системы (*) доказано, что в окрестности гомоклпнич. решения существует счетное число периодич. решений со сколь угодно большими периодами. При этом любые два из них можно соединить гетероклинич. решением. Гомоклинич. решения играют важную роль в общей теории гладких динамич. систем.