Гомологии комплекса

исходное понятие для различных гомологич. конструкций. Пусть А - абелева категория и [img: http://localhost:8080/file/010422-12.jpg] - цепной комплекс в категории А, т. е. семейство объектов [img: http://localhost:8080/file/010422-13.jpg] категории Аи таких морфизмов [img: http://localhost:8080/file/010422-14.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010422-15.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/010422-16.jpg]. Факторобъекты [img: http://localhost:8080/file/010422-17.jpg] наз. n-ми гомологиями комплекса К. и обозначаются [img: http://localhost:8080/file/010422-18.jpg]. Семейство [img: http://localhost:8080/file/010422-19.jpg] обозначается также через [img: http://localhost:8080/file/010422-20.jpg]. Понятие Г. к. является основой для ряда важных конструкций в гомологич. алгебре, коммутативной алгебре, ал-гебраич. геометрии, топологии. Так, в топологии каждое топологич. пространство Xопределяет цепной комплекс в категории [img: http://localhost:8080/file/010422-21.jpg] абелевых групп: [img: http://localhost:8080/file/010422-22.jpg] Здесь [img: http://localhost:8080/file/010422-23.jpg] - группа n-мерных сингулярных цепей пространства X, а [img: http://localhost:8080/file/010422-24.jpg] - граничный гомоморфизм, п-eгомологии этого комплекса наз. n-ми группами сингулярных гомологии пространства Xи обозначаются [img: http://localhost:8080/file/010422-25.jpg]. Двойственным образом определяется понятие когомологии коцепного комплекса.