Гомологическое многообразие

обобщенное многообразие,- локально компактное топологич. пространство, локальная гомологич. структура к-рого аналогична локальной структуре обычных топологнч. многообразий, в том числе многообразий с краем. Более точно, гомологическим n-многообразием (обобщенным n-многообразием) над группой или модулем Gкоэффициентов наз. локально компактное топологич. пространство X, имеющее конечную гомологическую размерность над Gи такое, что все его локальные гомологии группы [img: http://localhost:8080/file/010423-157.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/010423-158.jpg] тривиальны, а при [img: http://localhost:8080/file/010423-159.jpg] либо изоморфны G, либо равны нулю. Здесь [img: http://localhost:8080/file/010423-160.jpg] есть прямой предел групп. [img: http://localhost:8080/file/010423-161.jpg] взятый по всем окрестностям Uточки' [img: http://localhost:8080/file/010423-162.jpg], причем под Нпонимается теория гомологии, удовлетворяющая всем Стинрода - Эйлен-берга аксиомам, включая аксиому точности; в категории локально стягиваемых пространств теория Н, рассматриваемая с компактными носителями, изоморфна сингулярной (см. Сингулярные гомологии). Группы [img: http://localhost:8080/file/010423-163.jpg] автоматически оказываются слоями иек-рого пучка [img: http://localhost:8080/file/010423-164.jpg] (см. Пучков теория), называемого ориентирующим пучком многообразия X. Г. м. Xназ. ориентируемым, если пучок [img: http://localhost:8080/file/010423-165.jpg] изоморфен постоянному пучку [img: http://localhost:8080/file/010423-166.jpg],илокально ориентируемым, если [img: http://localhost:8080/file/010423-167.jpg] является локально постоянным в точках, где [img: http://localhost:8080/file/010423-168.jpg]. Если G - кольцо главных идеалов и все [img: http://localhost:8080/file/010423-169.jpg] отличны от нуля, то Г. м. над G всегда локально ориентируемо. Если Г. м. над группой Gлокально ориентируемо, то множество всех [img: http://localhost:8080/file/010423-170.jpg], в к-рых [img: http://localhost:8080/file/010423-171.jpg] замкнуто, нигде не плотно и образует край Г. м. X. Локально ориентируемое Г. м. Xимеет те же гомологич. свойства, что и обычные многообразия. Например, для X верна теорема об инвариантности области, [img: http://localhost:8080/file/010423-172.jpg] множество [img: http://localhost:8080/file/010423-173.jpg] нигде не плотно в Xв том и только в том случае, если [img: http://localhost:8080/file/010423-174.jpg] и т. д. Для всякого Г. м. над G имеют место естественные изоморфизмы (Пуанкаре двойственность) [img: http://localhost:8080/file/010423-175.jpg] (когомологии с коэффициентами в пучке). Здесь р - любое целое число, но гомологич. размерность Г. м. Xнад G равна п, и потому изоморфизмы имеют нетривиальное содержание только при [img: http://localhost:8080/file/010423-176.jpg] Аналогичные изоморфизмы имеют место для гомологии и когомологии с носителями в любом паракомпактифицирующем семействе (в частности, для гомологии и когомологии с компактными носителями). Условие изоморфизма между ненулевыми слоями [img: http://localhost:8080/file/010423-177.jpg] пучка [img: http://localhost:8080/file/010423-178.jpg] и группой G не является существенным. Можно также вместо группы Gрассматривать любой локально постоянный пучок коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/010423-179.jpg] со слоем [img: http://localhost:8080/file/010423-180.jpg] (при этом [img: http://localhost:8080/file/010423-181.jpg] изменится). Любое открытое подмножество [img: http://localhost:8080/file/010423-182.jpg] является Г. м.; поэтому использование равенств [img: http://localhost:8080/file/010423-183.jpg] из к-рых во втором [img: http://localhost:8080/file/010423-184.jpg] имеет компактное замыкание, а индекс суказывает на компактность носителей, позволяет получать как частные случаи двойственности Пуанкаре изоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/010423-185.jpg] Сопоставление точных гомологич. и когомологич. последовательностей соответствующих пар позволяет в качестве частных случаев двойственности Пуанкаре рассматривать также изоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/010423-186.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010423-187.jpg] последний из к-рых является обобщением Александера двойственности. Аналогичные соотношения имеют место для гомологии и когомологий с носителями в нек-ром фиксированном семействе. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010423-188.jpg] и пусть Xкомпактно, а Y - замкнутое или открытое подмножество. Следствием предыдущих изоморфизмов и точности гомологии и когомологий является изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010423-189.jpg] представляющий собой Понтрягина двойственность при замкнутом Yи Стинрода двойственность при открытом Y. Отсюда и из свойства непрерывности когомологий вытекает, что изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010423-190.jpg] имеет место для любого подмножества [img: http://localhost:8080/file/010423-191.jpg] (двойственность Ситникова). В случае некомпактного Xвместо гомологии с компактными носителями следует рассматривать гомологии с носителями, замкнутыми во всем X. Если Xкомпактно, то при р=0 следует использовать приведенные гомологии. Нетривиальными примерами Г. м. являются "сомножители" обычных многообразий, напр, евклидовых пространств: если для топологич. пространства Xсуществует такое Y, что декартово произведение [img: http://localhost:8080/file/010423-192.jpg] есть Г. м., то Xи Y - тоже Г. м. Известны примеры Г. м., не являющихся локально евклидовыми ни в одной своей точке. Г. м. играют существенную роль в нек-рых вопросах теории преобразований групп, где они появляются в качестве пространств орбит или множества неподвижных точек. Имеется когомологич. вариант определения обобщенных многообразий. Всякое когомологическое многообразие над кольцом главных идеалов G является Г. м. над G, а если Gне более чем счетно, то верно и обратное.