Гомоморфизм

- морфизм в категории алгебраических систем. Г.- отображение алгебраич. системы [img: http://localhost:8080/file/010424-1.jpg], сохраняющее основные операции и основные отношения; точнее, пусть [img: http://localhost:8080/file/010424-2.jpg] - алгебраич. система с основными операциями [img: http://localhost:8080/file/010424-3.jpg] и основными отношениями [img: http://localhost:8080/file/010424-4.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010424-5.jpg] Г. системы [img: http://localhost:8080/file/010424-6.jpg] в однотипную ей систему [img: http://localhost:8080/file/010424-7.jpg] наз. отображение [img: http://localhost:8080/file/010424-8.jpg], удовлетворяющее следующим двум условиям: [img: http://localhost:8080/file/010424-9.jpg] для всех элементов [img: http://localhost:8080/file/010424-10.jpg] из Аи всех [img: http://localhost:8080/file/010424-11.jpg] Если каждому элементу iиз I сопоставлен некоторый [img: http://localhost:8080/file/010424-12.jpg] -арный функциональный символ [img: http://localhost:8080/file/010424-13.jpg], а каждому элементу j из [img: http://localhost:8080/file/010424-14.jpg] - mj -местный предикатный символ [img: http://localhost:8080/file/010424-15.jpg] и в каждой системе [img: http://localhost:8080/file/010424-16.jpg], однотипной системе [img: http://localhost:8080/file/010424-17.jpg], результат i-й основной операции [img: http://localhost:8080/file/010424-18.jpg] примененной к элементам [img: http://localhost:8080/file/010424-19.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010424-20.jpg], записан в виде [img: http://localhost:8080/file/010424-21.jpg], а вместо [img: http://localhost:8080/file/010424-22.jpg] пишут [img: http://localhost:8080/file/010424-23.jpg]. Условия (1), (2) при этом упрощаются и принимают вид [img: http://localhost:8080/file/010424-24.jpg] Г. ф: [img: http://localhost:8080/file/010424-25.jpg] наз. сильным, если для любых элементов [img: http://localhost:8080/file/010424-26.jpg] из [img: http://localhost:8080/file/010424-27.jpg] и для любого предикатного символа [img: http://localhost:8080/file/010424-28.jpg] условие [img: http://localhost:8080/file/010424-29.jpg] влечет существование в Атаких элементов [img: http://localhost:8080/file/010424-30.jpg] что [img: http://localhost:8080/file/010424-31.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010424-32.jpg] и выполняется соотношение [img: http://localhost:8080/file/010424-33.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010424-34.jpg]. Для алгебр понятия Г. и сильного Г. совпадают. Для моделей существуют Г., к-рые не являются сильными, и взаимно однозначные Г., к-рые не являются изоморфизмами. Если [img: http://localhost:8080/file/010424-35.jpg] - Г. алгебраич. системы [img: http://localhost:8080/file/010424-36.jpg] на алгебраич. систему [img: http://localhost:8080/file/010424-37.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010424-38.jpg] - ядерная конгруэнция для Г. [img: http://localhost:8080/file/010424-39.jpg], то отображение [img: http://localhost:8080/file/010424-40.jpg], определяемое формулой [img: http://localhost:8080/file/010424-41.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010424-42.jpg], является Г. факторсистемы [img: http://localhost:8080/file/010424-43.jpg] на алгебраич. систему [img: http://localhost:8080/file/010424-44.jpg]. Если при этом [img: http://localhost:8080/file/010424-45.jpg] - сильный Г., то [img: http://localhost:8080/file/010424-46.jpg] есть изоморфизм. Это - одна из самых общих формулировок теоремы о Г. Следует отметить, что иногда Г. наз. также морфизмы в категориях, отличных от категорий алгебраич. систем. (Напр., Г. графов, Г. пучков, Г. групп Ли).