Градиент

- одно из основных понятий векторного анализа и теории нелинейных отображений. Градиентом скалярной функции [img: http://localhost:8080/file/010425-318.jpg] векторного аргумента [img: http://localhost:8080/file/010425-319.jpg] из евклидова пространства Е n наз. производная функции f(t).по векторному аргументу t, то есть n-мерный вектор с компонентами [img: http://localhost:8080/file/010425-320.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010425-321.jpg]. Существуют следующие обозначения Г. функции f(t) в точке [img: http://localhost:8080/file/010425-322.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010425-323.jpg] Г. представляет собой ковариантный вектор: компоненты Г., вычисленные в двух различных координатных системах [img: http://localhost:8080/file/010425-324.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010425-325.jpg], связаны соотношениями: [img: http://localhost:8080/file/010425-326.jpg] Вектор [img: http://localhost:8080/file/010425-327.jpg], начало к-рого помещено в точку [img: http://localhost:8080/file/010425-328.jpg], указывает направление наискорейшего роста функции [img: http://localhost:8080/file/010425-329.jpg], ортогональное линии или поверхности уровня функции [img: http://localhost:8080/file/010425-330.jpg], проходящей через точку [img: http://localhost:8080/file/010425-331.jpg]. Производная функции в точке [img: http://localhost:8080/file/010425-332.jpg] в направлении произвольного единичного вектора [img: http://localhost:8080/file/010425-333.jpg] равна проекции Г. функции на это направление: [img: http://localhost:8080/file/010425-334.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010425-335.jpg] - угол между [img: http://localhost:8080/file/010425-336.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010425-337.jpg]. Максимум производной достигается при [img: http://localhost:8080/file/010425-338.jpg], т. е. в направлении Г., и равен длине Г. Понятие Г. тесно связано с понятием дифференциала функции. В случае дифференцируемости [img: http://localhost:8080/file/010426-1.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/010426-2.jpg] вблизи [img: http://localhost:8080/file/010426-3.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010426-4.jpg] то есть [img: http://localhost:8080/file/010426-5.jpg]. Существование в точке t0 Г. функции [img: http://localhost:8080/file/010426-6.jpg] не достаточно для справедливости формулы (2). Точка [img: http://localhost:8080/file/010426-7.jpg], в к-рой [img: http://localhost:8080/file/010426-8.jpg], наз. стационарной (критической или экстремальной) точкой функции [img: http://localhost:8080/file/010426-9.jpg]. Такой точкой является, напр., точка локального экстремума функции [img: http://localhost:8080/file/010426-10.jpg] и система [img: http://localhost:8080/file/010426-11.jpg] используется для нахождения экстремальной точки t0. При вычислении значения Г. справедливы формулы: [img: http://localhost:8080/file/010426-12.jpg] Г. [img: http://localhost:8080/file/010426-13.jpg] есть производная в точке [img: http://localhost:8080/file/010426-14.jpg] по объему векторной функции объема [img: http://localhost:8080/file/010426-15.jpg] где Е - область с границей [img: http://localhost:8080/file/010426-16.jpg] - элемент площади [img: http://localhost:8080/file/010426-17.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010426-18.jpg] - единичный вектор внешней нормали к [img: http://localhost:8080/file/010426-19.jpg]. Другими словами [img: http://localhost:8080/file/010426-20.jpg] Формулы (1), (2) и перечисленные выше свойства Г. указывают на инвариантный относительно выбора системы координат характер понятия Г. В криволинейной системе координат [img: http://localhost:8080/file/010426-21.jpg] в к-рой квадрат длины элемента [img: http://localhost:8080/file/010426-22.jpg] компоненты Г. функции [img: http://localhost:8080/file/010426-23.jpg], отнесенного к ортам, касающимся координатных линий в точке х, равны [img: http://localhost:8080/file/010426-24.jpg] где матрица [img: http://localhost:8080/file/010426-25.jpg] - обратная к матрице [img: http://localhost:8080/file/010426-26.jpg]. Понятие Г. для более общих векторных функций векторного аргумента вводится при помощи равенства (2), означающего, что Г. есть линейный оператор, действием к-рого на приращение [img: http://localhost:8080/file/010426-27.jpg] аргумента получается главная линейная часть приращения [img: http://localhost:8080/file/010426-28.jpg] вектор-функции [img: http://localhost:8080/file/010426-29.jpg]. Напр., если [img: http://localhost:8080/file/010426-30.jpg] есть m-мерная вектор-функция аргумента [img: http://localhost:8080/file/010426-31.jpg], то ее Г. в течке [img: http://localhost:8080/file/010426-32.jpg] - Якобы матрица [img: http://localhost:8080/file/010426-33.jpg] с компонентами [img: http://localhost:8080/file/010426-34.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/010426-35.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010426-36.jpg] - m-мерный вектор, длина к-рого есть [img: http://localhost:8080/file/010426-37.jpg]. Матрица [img: http://localhost:8080/file/010426-38.jpg] определяется при помощи предельного перехода [img: http://localhost:8080/file/010426-39.jpg] с любым фиксированным n-мерным вектором [img: http://localhost:8080/file/010426-40.jpg]. В бесквнечномерном гильбертовом пространстве определение (3) равносильно определению дифференцируемости по Фреше и Г. при этом совпадает с производной Фреше. В случае, когда f(t).лежит в бесконечномерном векторном пространстве, возможны различные типы предельного перехода в (3) (см., напр., Гато производная). В теории тензорных полей, заданных в области n-мерного аффинного пространства связности, при помощи Г. описывается главная линейная часть приращения компонент тензора при соответствующем связности параллельном перенесении. Г. тензорного поля [img: http://localhost:8080/file/010426-41.jpg] типа (p,q) есть тензор типа (p,q+1) с компонентами [img: http://localhost:8080/file/010426-42.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010426-43.jpg] - оператор абсолютного (ковариантного) дифференцирования. Понятие Г. широко применяется в различных задачах математики, механики и физики. Многие физич. поля могут быть рассматриваемы как градиентные поля (см. Потенциальное поле).