Градиентное преобразование

преобразование в классической и квантовой теории поля, к-рое изменяет характеристики поля, не являющиеся наблюдаемыми (напр., потенциалы поля), и не меняет при этом имеющие физич. смысл наблюдаемые величины (напр., напряженности поля). Название "Г. п." возникло в классич. теории электромагнитного поля, где 4-мерный вектор электромагнитного потенциала [img: http://localhost:8080/file/010426-49.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010426-50.jpg] вводится в теорию неоднозначным образом, поскольку так наз. Г. п. 2 - го рода: [img: http://localhost:8080/file/010426-51.jpg] с произвольной функцией f(x), обладающей частными производными 1-го и 2-го порядков, не сказываются на значениях компонент антисимметричного тензора электромагнитного ноля [img: http://localhost:8080/file/010426-52.jpg] к-рые равны физически наблюдаемым компонентам векторов напряженности электрич. поля [img: http://localhost:8080/file/010426-53.jpg] и магнитного поля [img: http://localhost:8080/file/010426-54.jpg] При Г. п. 2-го рода остаются неизменными уравнения поля [img: http://localhost:8080/file/010426-55.jpg] т. е. имеет место свойство так наз. градиентной инвариантности теории поля. С помощью соответствующего выбора функции /(.г) можно добиться выполнения для Ак.-л. дополнительного условия, к-рое наз. условием калибровки, что позволяет упростить вид уравнений поля. Напр., линейное относительно потенциала Аусловие Лоренца - равенство нулю 4-мерной дивергенции [img: http://localhost:8080/file/010426-56.jpg] приводит к уравнению Д'Аламбера для [img: http://localhost:8080/file/010426-57.jpg] (см. Д'Аламбера оператор) [img: http://localhost:8080/file/010426-58.jpg] Условие Лоренца не определяет полностью потенциал Л, так как в теории остается инвариантность относительно так наз. специализированного Г. п. 2-го рода (1) с функцией [img: http://localhost:8080/file/010426-59.jpg], удовлетворяющей уравнению Д'Аламбера: [img: http://localhost:8080/file/010426-60.jpg]. Однако при определенном выборе [img: http://localhost:8080/file/010426-61.jpg] (так наз. лоренцева система отсчета) можно добиться выполнения условия [img: http://localhost:8080/file/010426-62.jpg]. При этом условие Лоренца (2) сводится к условию [img: http://localhost:8080/file/010426-63.jpg] для 3-мерного вектор-потенциала, т. е. к условию поперечности электромагнитного поля. В случае комплексных полей должна иметь место также инвариантность теории относительно Г. п. 1-го рода для волновых функций [img: http://localhost:8080/file/010426-64.jpg] поля и их производных так как все наблюдаемые динамич. величины в силу условия действительности (эрмитовости) должны выражаться только через действительные билинейные относительно Ф* и Ф формы. Условие инвариантности теории поля относительно Г. п. 1-го рода в силу общих принципов механики означает существование нек-рых сохраняющихся наблюдаемых физич. величин - зарядов, к-рые выражаются через функции поля, или, иначе говоря, существование законов сохранения этих зарядов. Соответствующие лагранжианы и уравнения поля должны быть инвариантны относительно Г. п., иначе называемых калибровочными преобразованиями. Напр., в случае взаимодействующих с электромагнитным полем [img: http://localhost:8080/file/010426-65.jpg] комплексных полей [img: http://localhost:8080/file/010426-66.jpg], соответствующих частицам, обладающим элект-рич. зарядом, лагранжианы свободных полей и лагранжиан взаимодействия и уравнения поля должны быть инвариантны относительно калибровочных преобразований вида [img: http://localhost:8080/file/010426-67.jpg] т. е. относительно Г. п. (1) и (4), где фазовый множитель в (4) может зависеть от 4-мерных координат пространства-времени и должен совпадать с произвольной скалярной функцией, входящей в (1). В этом случае в системе полей [img: http://localhost:8080/file/010426-68.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010426-69.jpg] выполняется закон сохранения электрич. заряда. Калибровочные преобразования (5) образуют абелеву группу преобразований в том смысле, что калибровочная функция [img: http://localhost:8080/file/010426-70.jpg] описывает калибровочное преобразование, представляющее собой два калибровочных преобразования с функциями [img: http://localhost:8080/file/010426-71.jpg], произведенных в любой последовательности. При построении более общих, чем рассмотренный пример, теорий взаимодействующих полей для выполнения соответствующих законов сохранения тех или иных зарядов необходимо требовать инвариантности лагранжианов и уравнений поля относительно неабелевых калибровочных преобразований, в к-рых калибровочные функции f(x).должны быть операторами.