Граничные задачи теории аналитических функций

- задачи нахождения аналитической в нек-рой области функции по заданному соотношению между граничными значениями ее действительной и мнимой частей. Впервые такая задача была поставлена в 1857 Б. Риманом (см. [1]). Д. Гильберт [2] исследовал граничную задачу в следующей постановке (задача Р и мана- Гильберта): найти функцию [img: http://localhost:8080/file/010427-132.jpg] аналитическую в односвязной области [img: http://localhost:8080/file/010427-133.jpg] с контуром [img: http://localhost:8080/file/010427-134.jpg], непрерывную в [img: http://localhost:8080/file/010427-135.jpg] по граничному условию [img: http://localhost:8080/file/010427-136.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010427-137.jpg] - заданные на Lдействительные непрерывные функции. Первоначально Д. Гильберт привел эту задачу к сингулярному интегральному уравнению с целью дать пример приложения такого уравнения. Задача (1) может быть сведена к последовательному решению двух задач Дирихле. Полное исследование задачи, проведенное таким способом, имеется в [3]. Близкой к задаче (1) является задача, к к-рой пришел А. Пуанкаре [4] при разработке математич. теории приливов. Задача Пуанкаре состоит в определении гармонической в области [img: http://localhost:8080/file/010427-138.jpg] функции [img: http://localhost:8080/file/010427-139.jpg] по условию на границе Lэтой области: [img: http://localhost:8080/file/010427-140.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010427-141.jpg] - заданные на Lдействительные функции, s- дуговая абсцисса, п- нормаль к L. Под обобщенной задачей Римана - Гильберта - Пуанкаре (задача Р.-Г.-П.) понимается следующая линейная граничная задача: найти функцию [img: http://localhost:8080/file/010427-142.jpg], аналитическую в [img: http://localhost:8080/file/010427-143.jpg], по граничному условию [img: http://localhost:8080/file/010427-144.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010427-145.jpg] - интегро-дифференциальный оператор, определяемый формулой [img: http://localhost:8080/file/010427-146.jpg] в к-рой [img: http://localhost:8080/file/010427-147.jpg] - заданные на L, вообще комплексные, функции класса Н(т. е. удовлетворяющие условию Гельдера), [img: http://localhost:8080/file/010427-148.jpg] - заданная действительная функция класса Н, [img: http://localhost:8080/file/010427-149.jpg] - заданные на L, вообще комплексные, функции вида [img: http://localhost:8080/file/010427-150.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/010427-151.jpg] - функции класса Нпо обеим переменным. В правой части (4) под [img: http://localhost:8080/file/010427-152.jpg] подразумевается граничное значение на Lизнутри области [img: http://localhost:8080/file/010427-153.jpg] производной j-го порядка функции [img: http://localhost:8080/file/010427-154.jpg]. Частным случаем задачи Р.- Г.- П. при [img: http://localhost:8080/file/010427-155.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010427-156.jpg] является задача Римана - Гильберта; задача Пуанкаре также является частным случаем сформулированной задачи. К задаче Р.- Г.- П. приводятся многие важные граничные задачи, напр, граничные задачи для уравнений с частными производными эллиптич. типа с двумя независимыми переменными. Задача Р.- Г.- П. была поставлена и в предположении, что [img: http://localhost:8080/file/010427-157.jpg] и решена И. Н. Векуа [3]. В теории граничных задач важную роль играет понятие индекса задачи - целого числа, определяемого формулой [img: http://localhost:8080/file/010427-158.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010427-159.jpg] - приращение [img: http://localhost:8080/file/010427-160.jpg] при однократном обходе контура [img: http://localhost:8080/file/010427-161.jpg] в направлении, составляющем область [img: http://localhost:8080/file/010427-162.jpg] слева. Задача Р.- Г.- П. редуцируется к сингулярному интегральному уравнению вида [img: http://localhost:8080/file/010427-163.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010427-164.jpg] - искомая действительная функция класса Н, с - искомая действительная постоянная, а [img: http://localhost:8080/file/010427-165.jpg] функции [img: http://localhost:8080/file/010427-166.jpg] выражаются через [img: http://localhost:8080/file/010427-167.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010427-168.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/010427-169.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010427-170.jpg] - числа линейно независимых решений соответствующего (5) однородного интегрального уравнения [img: http://localhost:8080/file/010427-171.jpg] и союзного с ним однородного интегрального уравнения [img: http://localhost:8080/file/010427-172.jpg] Числа [img: http://localhost:8080/file/010427-173.jpg] связаны с индексом х задачи Р.- Г.- П. равенством [img: http://localhost:8080/file/010427-174.jpg] Особый интерес представляет тот случай, когда задача разрешима при всякой правой части [img: http://localhost:8080/file/010427-175.jpg]. Для того чтобы задача Р.- Г.- П. была разрешима при любой правой части [img: http://localhost:8080/file/010427-176.jpg], необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/010427-177.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010427-178.jpg], причем в последнем случае решение [img: http://localhost:8080/file/010427-179.jpg] уравнения (6) должно удовлетворять условию [img: http://localhost:8080/file/010427-180.jpg] в обоих случаях [img: http://localhost:8080/file/010427-181.jpg] и однородная задача [img: http://localhost:8080/file/010427-182.jpg] имеет ровно [img: http://localhost:8080/file/010427-183.jpg] линейно независимых решений. При [img: http://localhost:8080/file/010427-184.jpg] задача Р.- Г.- П. разрешима при любой правой части тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010427-185.jpg]. В случае задачи Римана - Гильберта имеют место следующие утверждения: 1) при [img: http://localhost:8080/file/010427-186.jpg] неоднородная задача (1) разрешима при любой правой части и 2) при [img: http://localhost:8080/file/010427-187.jpg] эта задача разрешима тогда и только тогда, когда, [img: http://localhost:8080/file/010427-188.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010427-189.jpg] Задача Римана - Гильберта тесно связана с так наз. задачей линейного сопряжения. Если L - простая гладкая или кусочно гладкая линия, состоящая из замкнутых контуров, ограничивающих нек-рую область [img: http://localhost:8080/file/010427-190.jpg] плоскости комплексного переменного [img: http://localhost:8080/file/010427-191.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010427-192.jpg] остающуюся слева при обходе L, то дополнение [img: http://localhost:8080/file/010427-193.jpg] до плоскости [img: http://localhost:8080/file/010427-194.jpg] обозначается через [img: http://localhost:8080/file/010427-195.jpg]. Пусть функция [img: http://localhost:8080/file/010427-196.jpg] задана и непрерывна в окрестности линии Lвсюду, кроме, быть может, самой L. Говорят, что функция [img: http://localhost:8080/file/010427-197.jpg] непрерывно продолжима на точку [img: http://localhost:8080/file/010427-198.jpg] слева (или справа), если [img: http://localhost:8080/file/010427-199.jpg] стремится к определенному пределу [img: http://localhost:8080/file/010427-200.jpg] [или [img: http://localhost:8080/file/010427-201.jpg] ], когда z стремится к г по любому пути, оставаясь слева (или справа) от L. Функцию [img: http://localhost:8080/file/010427-202.jpg] наз. кусочно аналитической с линией скачка L, если она аналитична в [img: http://localhost:8080/file/010427-203.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010427-204.jpg] и непрерывно продолжима на каждую точку [img: http://localhost:8080/file/010427-205.jpg] как слева так и справа. В задаче линейного сопряжения требуется определить кусочно аналитич. функцию [img: http://localhost:8080/file/010427-206.jpg] с линией скачка L, имеющую конечный порядок на бесквнечности, по граничному условию [img: http://localhost:8080/file/010427-207.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010427-208.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010427-209.jpg] - заданные на [img: http://localhost:8080/file/010427-210.jpg] функции класса Н. В предположении, что [img: http://localhost:8080/file/010427-211.jpg] всюду на [img: http://localhost:8080/file/010427-212.jpg], целое число [img: http://localhost:8080/file/010427-213.jpg] наз. индексом задачи линейного сопряжения. Когда [img: http://localhost:8080/file/010427-214.jpg] - кусочно аналитический вектор, [img: http://localhost:8080/file/010427-215.jpg] - квадратная [img: http://localhost:8080/file/010427-216.jpg] -матрица и [img: http://localhost:8080/file/010427-217.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010427-218.jpg] _ - вектор, причем [img: http://localhost:8080/file/010427-219.jpg] целое число [img: http://localhost:8080/file/010427-220.jpg] наз. суммарным индексом задачи линейного сопряжения. Понятия индекса и суммарного индекса играют важную роль в теории задачи линейного сопряжения (см. [5], [6], [7], [8]). На базе теории задачи линейного сопряжения построена теория одномерных сингулярных интегральных уравнений вида (5).