Грассмана многообразие

множество [img: http://localhost:8080/file/010428-121.jpg] всех [img: http://localhost:8080/file/010428-122.jpg] -мерных подпространств в n-мерном векторном пространстве Vнад телом k. Если k - поле, то [img: http://localhost:8080/file/010428-123.jpg] с помощью грассмановых координат (см. Внешняя алгебра).вкладывается в [img: http://localhost:8080/file/010428-124.jpg] -мерное проективное пространство над kв виде компактного алгебраич. многообразия. В изучении геометрич. свойств Г. м. большую роль играют так наз. многообразия Шуберта [img: http://localhost:8080/file/010428-125.jpg] am=<n определяемые следующим образом: если [img: http://localhost:8080/file/010428-126.jpg] - флаг подпространств, т. е. набор таких подпространств, что [img: http://localhost:8080/file/010428-128.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/010428-127.jpg] любое [img: http://localhost:8080/file/010428-129.jpg] -мерное алгебраич. подмногообразие в Г. м. [img: http://localhost:8080/file/010428-130.jpg] эквивалентно единственной целочисленной линейной комбинации многообразий [img: http://localhost:8080/file/010428-131.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010428-132.jpg] (см. [1]). В случаях, когда k - поле действительных чисел [img: http://localhost:8080/file/010428-133.jpg], поле комплексных чисел [img: http://localhost:8080/file/010428-134.jpg] или тело кватернионов [img: http://localhost:8080/file/010428-135.jpg], Г. м. над kможно рассматривать как компактное аналитич. многообразие (действительное при [img: http://localhost:8080/file/010428-136.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010428-137.jpg] и комплексное при [img: http://localhost:8080/file/010428-138.jpg]). Эти многообразия замечательны тем, что являются классифицирующими пространствами для классических групп [img: http://localhost:8080/file/010428-139.jpg] соответственно. Точнее, для любого клеточного комплекса Х размерности [img: http://localhost:8080/file/010428-140.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/010428-141.jpg] соответственно, множество классов изоморфных m- мерных векторных расслоений над kс базой Xнаходится в естественном взаимно однозначном соответствии с множеством гомотопич. классов непрерывных отображений [img: http://localhost:8080/file/010428-142.jpg] (см. [2]). Аналогичная теория для групп [img: http://localhost:8080/file/010428-143.jpg] 'и [img: http://localhost:8080/file/010428-144.jpg] приводит к рассмотрению Г. м. [img: http://localhost:8080/file/010428-145.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/010428-146.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/010428-147.jpg]) ориентированных m-мерных подпространств в [img: http://localhost:8080/file/010428-148.jpg]. Перечисленные Г. м. тесно связаны, в частности, с теорией характеристических классов. Роль, к-рую играют Г. м. в топологии, потребовала детального изучения их топологич. инвариантов. Старейший метод этого изучения основан на многообразиях Шуберта, с помощью к-рых легко построить клеточное разбиение для [img: http://localhost:8080/file/010428-149.jpg]. Оказывается, в частности, что циклы [img: http://localhost:8080/file/010428-150.jpg] порождают базисы групп гомологии [img: http://localhost:8080/file/010428-151.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010428-152.jpg] Хорошо изучены также алгебры кого-мологий Г. м. и действие степеней Стинрода на них [3]. Другой аспект теории Г. м. состоит в том, что они являются однородными пространствами линейной группы над соответствующим телом и представляют собой основные примеры неприводимых симметрических пространств. Многообразия, аналогичные Г. м., можно конструировать также из подпространств бесконечномерных векторных пространств. В частности, в теории деформаций аналитич. структур существенную роль играет банахово аналитич. многообразие [img: http://localhost:8080/file/010428-153.jpg], элементами к-рого являются замкнутые подпространства банахова пространства Внад [img: http://localhost:8080/file/010428-154.jpg], допускающие замкнутое прямое дополнение.