Гротендика группа

аддитивной категории - абелева группа, сопоставляемая аддитивной категории универсальным аддитивным отображением. Точнее, пусть С - малая аддитивная категория и G - абелева группа. Отображение [img: http://localhost:8080/file/010431-51.jpg] наз. аддитивным, если для любой точной последовательности [img: http://localhost:8080/file/010431-52.jpg] объектов из Свыполняется [img: http://localhost:8080/file/010431-53.jpg]. Существует группа [img: http://localhost:8080/file/010431-54.jpg], наз. Г. г., и такое аддитивное отображение [img: http://localhost:8080/file/010431-55.jpg], наз. универсальным отображением, что для любого аддитивного отображения [img: http://localhost:8080/file/010431-56.jpg] существует единственный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/010431-57.jpg] удовлетворяющий условию [img: http://localhost:8080/file/010431-58.jpg] Впервые эта конструкция была рассмотрена А. Гро-тендиком (A. Grothendieck) для категорий когерентных и локально свободных пучков на схемах при доказательстве теоремы Римана-Роха. См. К-функтор в алгебраич. геометрии. Группа [img: http://localhost:8080/file/010431-59.jpg] определена однозначно с точностью до изоморфизма и может быть задана образующими - каждому объекту [img: http://localhost:8080/file/010431-60.jpg] соответствует образующая [L] - и соотношениями [img: http://localhost:8080/file/010431-61.jpg] для всякой точной последовательности [img: http://localhost:8080/file/010431-62.jpg] Частным случаем этого понятия является Г. г. коммутативного моноида М(который можно рассматривать как категорию). Тогда универсальное отображение kявляется гомоморфизмом Мв группу К(М), аесли в Мвыполняется закон сокращения, то k - инъективный гомоморфизм. Если [img: http://localhost:8080/file/010431-63.jpg] - топологич. пространство, то Г. г. аддитивной категории векторных расслоений над Xявляется инвариантом пространства, изучаемым в К-теории. Если С - категория невырожденных симметрических билинейных форм на векторных пространствах над полем k, то К(С).есть группа Витта - Гротендика над k(см. Витта кольцо).