Групповой объект

категории - объект Xкатегории Стакой, что для любого [img: http://localhost:8080/file/010432-101.jpg] множество морфизмов [img: http://localhost:8080/file/010432-102.jpg] является группой, а соответствие [img: http://localhost:8080/file/010432-103.jpg] - функтором из категории Св категорию групп (Gr). Гомоморфизмом Г. о. X в Г. о. У наз. такой морфизм [img: http://localhost:8080/file/010432-104.jpg] категории С, что для любого [img: http://localhost:8080/file/010432-105.jpg] соответствующее отображение [img: http://localhost:8080/file/010432-106.jpg] является гомоморфизмом групп. Г. категории С; морфизмами в этой категории служат гомоморфизмы. Функтор [img: http://localhost:8080/file/010432-108.jpg] устанавливает эквивалентность категории [img: http://localhost:8080/file/010432-109.jpg] и категории представимых предпучков групп на категории С. В случае, когда значения функтора [img: http://localhost:8080/file/010432-110.jpg] принадлежат подкатегории [img: http://localhost:8080/file/010432-111.jpg] абелевых групп, Г. о. Xяаз. коммутативным, или абелевым. Если категория Собладает конечными произведениями и финальным объектом е, то Г. о. Xкатегории Сопределяются следующими свойствами. Существуют морфизмы [img: http://localhost:8080/file/010432-112.jpg] (умножение), [img: http://localhost:8080/file/010432-113.jpg] (обращение) и [img: http://localhost:8080/file/010432-114.jpg] (единица), к-рые удовлетворяют следующим аксиомам. а) Ассоциативность. Диаграмма коммутативна. [img: http://localhost:8080/file/010432-115.jpg] б) Существование единичного элемента. Диаграмма коммутативна. [img: http://localhost:8080/file/010432-116.jpg] в) Существование обратного элемента. Диаграмма [img: http://localhost:8080/file/010432-117.jpg] коммутативна. Здесь всюду [img: http://localhost:8080/file/010432-118.jpg] - канонический морфизм объекта X в финальный объект [img: http://localhost:8080/file/010432-119.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010432-120.jpg] - диагональный морфизм. В случае, когда Сесть категория множеств (Ens), Г. о. Xсуть в точности группы. Финальным объектом категории (Ens) является множество [img: http://localhost:8080/file/010432-121.jpg], состоящее из одного элемента е. Аксиома а) означает ассоциативность бинарной операции, задаваемой морфизмом [img: http://localhost:8080/file/010432-122.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010432-123.jpg]. Морфизм [img: http://localhost:8080/file/010432-124.jpg] есть отображение обращения, а морфизм [img: http://localhost:8080/file/010432-125.jpg] есть отображение множества [img: http://localhost:8080/file/010432-126.jpg] в X, образ к-рого равен единичному элементу в X. Аналогичным способом можно определить кольцевой объект категории и вообще задать алгебраическую структуру на объекте категории (см. [2]).