Гурса задача

- решение гиперболич. уравнения и системы 2-го порядка с двумя независимыми переменными по заданным его значениям на двух характеристич. кривых, выходящих из одной точки. Для гиперболич. уравнения [img: http://localhost:8080/file/010432-145.jpg] заданного, напр., в области [img: http://localhost:8080/file/010432-146.jpg] Г. з. ставится следующим образом: найти регулярное в области [img: http://localhost:8080/file/010432-147.jpg] решение [img: http://localhost:8080/file/010432-148.jpg] уравнения (1) и непрерывное в замыкании [img: http://localhost:8080/file/010432-149.jpg] по краевому условию [img: http://localhost:8080/file/010432-150.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010432-151.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010432-152.jpg] - заданные непрерывно дифференцируемые функции. Если функция Fнепрерывна для всех [img: http://localhost:8080/file/010432-153.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010432-154.jpg] и для любой системы действительных значений переменных [img: http://localhost:8080/file/010432-155.jpg] и допускает производные [img: http://localhost:8080/file/010432-156.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010432-157.jpg], к-рые при тех же условиях по абсолютной величине меньше нек-рого числа, то в области [img: http://localhost:8080/file/010432-158.jpg] существует единственное и устойчивое решение задачи (1), (2). При исследовании Г. з. в линейном случае [img: http://localhost:8080/file/010432-159.jpg] фундаментальную роль играет функция Римана [img: http://localhost:8080/file/010432-160.jpg], к-рая однозначно определяется как решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/010432-161.jpg] удовлетворяющее на характеристиках [img: http://localhost:8080/file/010432-162.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010432-163.jpg] условию [img: http://localhost:8080/file/010432-164.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010432-165.jpg] - произвольная точка из области [img: http://localhost:8080/file/010432-166.jpg] задания уравнения (3). Если функции [img: http://localhost:8080/file/010432-167.jpg] и снепрерывны, то функция Рнмана существует и по переменным [img: http://localhost:8080/file/010432-168.jpg] является решением уравнения [img: http://localhost:8080/file/010432-169.jpg]. Решение Г. з. (2) для уравнения (3) дается так наз. формулой Римана. При [img: http://localhost:8080/file/010432-170.jpg] она имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/010432-171.jpg] Из формулы Римана следует, что значение [img: http://localhost:8080/file/010432-172.jpg] решения Г. з. в точке [img: http://localhost:8080/file/010432-173.jpg] зависит лишь от значения заданных функций в характеристич. четырехугольнике [img: http://localhost:8080/file/010432-174.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/010432-175.jpg] это значение зависит лишь от значения функции y(x) и j(у)в промежутках [img: http://localhost:8080/file/010432-176.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010432-177.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/010432-178.jpg] соответственно, а при [img: http://localhost:8080/file/010432-179.jpg] функция [img: http://localhost:8080/file/010432-180.jpg] Метод получения явных формул решения Г. з. с помощью функции Римана известен под названием метода Римана. Этот метод распространен на довольно широкий класс гиперболич. систем 1-го н 2-го порядков. В частности, на систему вида (3), где а, b и с - квадратные симметрия, матрицы порядка п, а fи и - векторы с пкомпонентами. Непосредственным обобщением Г. з. является задача Дарбу- Пикара, к-рая состоит в определении решения гпперболич. уравнения и системы 2-го порядка с двумя независимыми переменными по заданным его значениям на двух гладких монотонных кривых g и d, выходящих из одной точки Аи расположенных в характеристич. угле с вершиной в точке А. В частности, g и dмогут частично или полностью совпадать со сторонами этого угла. Эта задача исследована для уравнения вида (1). Г. з. иногда наз. задачей Дарбу. Под Г. з. для гиперболич. уравнений 2-го порядка с несколькими независимыми переменными часто понимают характеристич. задачу, т. е. задачу отыскания решения по заданным его значениям на характеристич. коноиде (см. Дифференциальные уравнения с частными производными;задача с данными на характеристиках). Г. з. названа по имени Э. Гурса (Е. Goursat), подробно ее исследовавшего.