Гёделя теорема о неполноте

общее название двух теорем, установленных К. Гёделем [1]. Первая Г. т. о н. утверждает, что в любой непротиворечивой формальной системе, содержащей минимум арифметики ([img: http://localhost:8080/file/010408-218.jpg] знаки [img: http://localhost:8080/file/010408-219.jpg] и обычные правила обращения с ними), найдется формально неразрешимое суждение, т. е. такая замкнутая формула А, что ни А, ни [img: http://localhost:8080/file/010408-220.jpg] не являются выводимыми в системе. Вторая Г. т. о н. утверждает, что при выполнении естественных дополнительных условий в качестве Аможно взять утверждение о непротиворечивости рассматриваемой системы. Эти теоремы знаменовали неудачу первоначального понимания программы Гильберта в области оснований математики, к-рая предусматривала полную формализацию всей существующей математики или значительной ее части (невозможность этого показала первая Г. т. о н.) и обоснование полученной формальной системы путем.финитного доказательства ее непротиворечивости (вторая Г. т. о н. показала, что даже если финитными считаются все средства формализованной арифметики, этого не хватит уже для доказательства непротиворечивости арифметики). Формально неразрешимое суждение строится методом арифметизации синтаксиса, к-рый стал одним из основных методов теории доказательств (метаматематики). Фиксируется нумерация основных формальных объектов (формул, конечных последовательностей формул и т. д.) натуральными числами такая, что основные свойства этих объектов (быть аксиомой, быть выводом по правилам системы и т. д.) оказываются распознаваемыми по их номерам с помощью весьма простых алгоритмов. Столь же просто вычисляются по номерам исходных данных номера результатов комбинаторных преобразований (напр., подстановки терма в формулу вместо переменной). При этом оказывается возможным написать арифметич. формулу В(а,b), имеющую вид [img: http://localhost:8080/file/010408-221.jpg] (f - примитивно рекурсивная функция) и выражающую условие: b есть номер формулы, к-рая получается из формулы с номером апутем подстановки натурального числа авместо переменной х. Если р - номер формулы [img: http://localhost:8080/file/010408-222.jpg] то формула [img: http://localhost:8080/file/010408-223.jpg] выражает свою собственную невыводимость. Она и оказывается формально неразрешимой. Отсюда следует, что в любой непротиворечивой системе с минимальными выразительными арифметическими возможностями имеется истинное, но не выводимое суждение указанного вида. Вторая Г. т. о н. получается путем формализации доказательства первой Г. т. о н. Ее доказательство существенно использует особенности арифметизации синтаксиса рассматриваемой системы, а именно - требуется выводимость в этой системе формул, выражающих суждения: 1) система замкнута относительно правила сокращения посылки (модус поненс);2) система замкнута относительно подстановки термов вместо предметных переменных; 3) из истинности формулы вида [img: http://localhost:8080/file/010408-224.jpg], где N - натуральное число, f - примитивно рекурсивная функция, следует ее выводимость. Эти условия выполняются для естественной арифметизации, но можно, не меняя алгорифмич. характеристик арифметизации (все функции и предикаты остаются примитивно рекурсивными), изменить ее так, что формула, выражающая непротиворечивость системы (применительно к новой арифметизации), будет выводима. При этом для новой арифметизации будет нарушено условие 1). Вторая Г. т. о н. дает критерий сравнения формальных систем: если в системе Sможно доказать непротиворечивость системы Т, то Sне погружается в Т(см. Погружающая операция). Так, доказывается, что формальный математический анализ не погружается в арифметику, типов теория не погружается в анализ, теория множеств Zне погружается в теорию типов.