Гёльдера неравенство

- 1) Г. н. для сумм. Пусть [img: http://localhost:8080/file/010409-74.jpg] - нек-рые множества комплексных чисел, [img: http://localhost:8080/file/010409-75.jpg], где S - конечное или бесконечное множество индексов. Справедливо Г. н. [img: http://localhost:8080/file/010409-76.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/010409-77.jpg] причем равенство достигается тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/010409-78.jpg], а [img: http://localhost:8080/file/010409-79.jpg] и Сне зависят от [img: http://localhost:8080/file/010409-80.jpg]. При [img: http://localhost:8080/file/010409-81.jpg] Г. н. для сумм наз. Коши неравенством. В предельном случае при [img: http://localhost:8080/file/010409-82.jpg], [img: http://localhost:8080/file/010409-83.jpg] Г. н. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010409-84.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/010409-85.jpg] знак Г. н. меняется на обратный. Г. н. для сумм допускает обращение (М. Рисе, М. Riesz): если [img: http://localhost:8080/file/010409-86.jpg] при всех [img: http://localhost:8080/file/010409-87.jpg] таких, что то [img: http://localhost:8080/file/010409-88.jpg] [img: http://localhost:8080/file/010409-89.jpg] Для сумм более общего вида Г. н. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/010409-90.jpg] если [img: http://localhost:8080/file/010409-91.jpg] 2) Г. н. для интегралов. Пусть S - измеримое по Лебегу множество n-мерного евклидова пространства [img: http://localhost:8080/file/010409-92.jpg] и функции [img: http://localhost:8080/file/010409-93.jpg] принадлежат [img: http://localhost:8080/file/010409-94.jpg], причем выполнено условие (2). Тогда справедливо Г. н. [img: http://localhost:8080/file/010409-95.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/010409-96.jpg] это есть Буняковского неравенство. Для интегрального Г. н. справедливы замечания (о предельном случае и о знаках), аналогичные замечаниям для Г. н. (1). В Г. н. множество S может быть любым множеством, на некоторой алгебре подмножеств которого задана конечно аддитивная функция [img: http://localhost:8080/file/010409-97.jpg] (например, мера), а функции [img: http://localhost:8080/file/010409-98.jpg] -измеримы и [img: http://localhost:8080/file/010409-99.jpg] -интегрируемы в степени [img: http://localhost:8080/file/010409-100.jpg]. 3) Обобщенное Г. н. Пусть S - произвольное множество и пусть на совокупности всех положительных числовых функций [img: http://localhost:8080/file/010409-101.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/010409-102.jpg] задан (конечный или бесконечный) функционал [img: http://localhost:8080/file/010409-103.jpg] удовлетворяющий условиям: а) [img: http://localhost:8080/file/010409-104.jpg] б) [img: http://localhost:8080/file/010409-105.jpg] для всех чисел [img: http://localhost:8080/file/010409-106.jpg] в) при [img: http://localhost:8080/file/010409-107.jpg] выполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/010409-108.jpg] г) [img: http://localhost:8080/file/010409-109.jpg] Если при этом выполняются условия (2), то справедливо обобщенное Г. н. для функционала: [img: http://localhost:8080/file/010409-110.jpg]