Данжуа интеграл

- 1) Данжуа узкий (специальный) интеграл - обобщение понятия интеграла Лебега. Функция f(x). наз. интегрируемой в смысле узкого (специального, D*) интеграла Данжуа на [ а, b], если существует такая непрерывная функция F(x)на [ а, b], что F'(x)=f(x)почти всюду, и каково бы ни было совершенное множество Р, существует порция Р, на к-рой F(x)абсолютно непрерывна и [img: http://localhost:8080/file/020501-55.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020501-56.jpg] - совокупность смежных интервалов к порции [img: http://localhost:8080/file/020501-57.jpg] - колебание [img: http://localhost:8080/file/020501-58.jpg] на [img: http://localhost:8080/file/020501-59.jpg] при этом [img: http://localhost:8080/file/020501-60.jpg] Такое обобщение интеграла Лебега ввел А. Данжуа [1]; он показал, что этот интеграл восстанавливает функцию по ее точной конечной производной. Интеграл D*' эквивалентен Перрона интегралу. 2) Данжуа широкий (общий) интеграл - обобщение понятия узкого Д. и. Функция f(x)наз. интегрируемой в смысле широкого (общего, D)интеграла Данжуа на [ а, b], если существует такая непрерывная функция F(x). на [а, b], что ее аппроксимативная производная почти всюду равна f(x)и каково бы ни было совершенное множество Р, существует порция Р, на к-рой F(x)абсолютно непрерывна; при этом [img: http://localhost:8080/file/020501-61.jpg] Введен независимо и почти одновременно А. Данжуа [2] и А. Я. Хинчиным [3], [4]. Интеграл Dвосстанавливает непрерывную функцию по ее точной конечной аппроксимативной производной. 3) Тотализация (T2S)0 представляет собой конструктивно определенный интеграл для решения задачи построения такого обобщения интеграла Лебега, к-рое позволило бы всякий всюду сходящийся тригонометрич. ряд рассматривать в качестве ряда Фурье (по этому интегралу). Введена А. Данжуа [5]. 4) Тотализация (T2S)отличается от тотализации (T2S)0 тем, что при определении тотализации (T2S)0 обычный предел заменен на аппроксимативный. Для тотализации (T2S)А. Данжуа [5] дал и дескриптивное определение. О взаимосвязях тотализации (T2S)0 и (T2S)с другими интегралами см. [6].