Движение

- преобразование пространства, сохраняющее геометрич. свойства фигур (размеры, форму и др.). Понятие Д. сформировалось путем абстракции реальных перемещений твердых тел в евклидовом пространстве. Д. принимается иногда в качестве основного понятия при аксиоматическом построении геометрии. Д. евклидова пространства - преобразование пространства, сохраняющее расстояние между точками. Д. наз. собственным (Д. первого рода) или несобственным (Д. второго рода) в зависимости от того, сохраняет оно или не сохраняет ориентацию пространства. На плоскости собственные Д. выражаются аналитически в прямоугольной системе координат (х, у)при помощи следующих формул [img: http://localhost:8080/file/020502-65.jpg] показывающих, что совокупность всех собственных Д. на плоскости зависит от трех параметров а, b,j. Первые два параметра характеризуют параллельный перенос плоскости на вектор (а, b), а параметр j - вращение (поворот) плоскости вокруг начала координат. Собственное Д. представляет собой произведение (композицию) вращения вокруг начала на угол j и параллельного переноса на вектор (а, b). Всякое собственное Д. может быть представлено либо как параллельный перенос, либо как вращение вокруг некоторой точки. Несобственные Д. выражаются при помощи формул [img: http://localhost:8080/file/020502-66.jpg] показывающих, что несобственное Д. есть произведение собственного Д. на преобразование симметрии, относительно нек-рой прямой. Всякое несобственное Д. представляет собой произведение параллельного переноса вдоль нек-рого направления и симметрии относительно прямой, имеющей то же направление. В пространстве собственное Д. есть или вращение вокруг оси, или параллельный перенос, или может быть представлено в виде произведения вращения вокруг оси и параллельного переноса в направлении этой оси (винтовое Д.). Несобственное Д. есть либо симметрия относительно плоскости, либо может быть представлено в виде произведения симметрии относительно плоскости на вращение вокруг оси, перпендикулярной к этой плоскости, либо - в виде произведения симметрии относительно плоскости на перенос в направлении вектора, параллельного этой плоскости. В прямоугольной системе координат (х, у, z)в пространстве Д. выражается аналитически при помощи формул [img: http://localhost:8080/file/020502-67.jpg] где элементы матрицы ||aij|| удовлетворяют следующим условиям ортогональности [img: http://localhost:8080/file/020502-68.jpg] (drs=l при r=s,drs= 0 при [img: http://localhost:8080/file/020502-69.jpg]). Д. является собственным или несобственным в зависимости от того, равняется ли определитель этой матрицы 1 или -1. См. Ортогональное преобразование. Аналогично в случае n-мерных евклидовых пространств Д. выражается аналитически в прямоугольных координатах при помощи ортогональной матрицы A=||aij||: [img: http://localhost:8080/file/020502-70.jpg] Д. риманова пространства - взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение класса Cs, [img: http://localhost:8080/file/020502-71.jpg], при к-ром сохраняются длины соответствующих линий. Линейный элемент пространства [img: http://localhost:8080/file/020502-72.jpg] где по индексам a, b производится суммирование, инвариантен относительно Д. Аналитически Д. определяется формулами, выражающими координаты преобразованной точки [img: http://localhost:8080/file/020502-73.jpg] через координаты исходной точки М(х i)при помощи функций fi(x)класса Cs: [img: http://localhost:8080/file/020502-74.jpg] (*) Условие инвариантности линейного элемента означает, что [img: http://localhost:8080/file/020502-75.jpg] Важное значение имеет понятие Д. в римановых пространствах общей теории относительности: в сильных асимметрических гравитационных полях твердые тела могут иметь лишь весьма ограниченные движения. Возможны также случаи, когда они не будут вовсе допускать никаких Д. В последней ситуации при любом преобразовании пространства метрика не остается инвариантной. Другими словами, любое перемещение сопровождается деформацией тела. Д. пространства аффинной связности- взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение класса Cs, s>2, при к-ром всякое поле параллельных векторов вдоль любой гладкой линии переходит в поле параллельных векторов преобразованной кривой. При Д. объект аффинной связности [img: http://localhost:8080/file/020502-76.jpg] переходит в себя. Обратно, всякое отображение (*), переводящее объект аффинной связности в себя, есть Д. Д. составляют группу преобразований (см. Движений группа). Они являются простейшими преобразованиями пространства.