Двойного слоя потенциал

- выражение вида [img: http://localhost:8080/file/020503-8.jpg] где Г - граница произвольной ограниченной Ж-мерной области [img: http://localhost:8080/file/020503-9.jpg] п у- внешняя по отношению к области gнормаль к границе Г в точке у,m(у).- плотность потенциала - функция, заданная на Г, h(rxy)- фундаментальное решение уравнения Лапласа [img: http://localhost:8080/file/020503-10.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020503-11.jpg] - площадь поверхности единичной (N-1)-мерной сферы, [img: http://localhost:8080/file/020503-12.jpg] - расстояние между точками хи [img: http://localhost:8080/file/020503-13.jpg]. Граница Г принадлежит классу С (1,l); она является поверхностью или дугой Ляпунова. Выражение (1) может быть истолковано как потенциал, создаваемый диполями, помещенными на Г, направление к-рых в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/020503-14.jpg] совпадает с направлением внешней нормали ny, а интенсивность равна m(y). Если [img: http://localhost:8080/file/020503-15.jpg] то и(х)определено для всех [img: http://localhost:8080/file/020503-16.jpg] (в частности и для [img: http://localhost:8080/file/020503-17.jpg] и обладает следующими свойствами. 1) Всюду в [img: http://localhost:8080/file/020503-18.jpg] функция и(х)имеет производные всех порядков [img: http://localhost:8080/file/020503-19.jpg] и удовлетворяет уравнению Лапласа, причем производные по координатам точки хможно вычислять дифференцированием под знаком интеграла. 2) При переходе через границу Г функция и(х)испытывает разрыв. Пусть х 0- произвольная точка на Г, и +(х 0)и и -(х 0)-предельные значения изнутри и извне, тогда и ±(х 0)существуют и равны [img: http://localhost:8080/file/020503-20.jpg] причем интеграл в формуле (3) как функция [img: http://localhost:8080/file/020503-21.jpg] принадлежит С (0, a) при любом [img: http://localhost:8080/file/020503-22.jpg] кроме того, функция, равная и в gи и + на Г, непрерывна в g+Г, а функция, равная ив EN-(g-Г)и и - на Г, непрерывна в EN-g. 3) Если плотность [img: http://localhost:8080/file/020503-23.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/020503-24.jpg] то и(х), продолженная так же, как в 2)на g+Г или EN-g, принадлежит классу С (0,a) в g+Г или в EN-g. 4) Если a>1-l, а х 1 и х 2- две точки, принадлежащие нормали, выходящей из точки х 0, симметричные относительно точки х 0, то [img: http://localhost:8080/file/020503-25.jpg] В частности, если существует одна из производных ди +(х о)/дп, ди -(х о)/дп, то существует и другая и ди +(х о)/дn=ди -(х о)/дп. Это свойство справедливо также, если [img: http://localhost:8080/file/020503-26.jpg] а [img: http://localhost:8080/file/020503-27.jpg] Перечисленные выше свойства обобщаются во многих направлениях. Плотность m(x) может принадлежать L р (Г), [img: http://localhost:8080/file/020503-28.jpg]. Тогда [img: http://localhost:8080/file/020503-29.jpg] вне Г и удовлетворяет уравнению Лапласа, формулы (3) и (4) имеют место для почти всех [img: http://localhost:8080/file/020503-30.jpg] и интеграл в (3) принадлежит Lp (Г). Изучены также свойства Д. с. п., понимаемых как интегралы по произвольной мере v, определенной на Г: [img: http://localhost:8080/file/020503-31.jpg] здесь также [img: http://localhost:8080/file/020503-32.jpg] вне Г и удовлетворяет уравнению Лапласа, формулы (3) и (4) имеют место для почти всех [img: http://localhost:8080/file/020503-33.jpg] по мере Лебега v(x)с заменой m(z0) на производную меры v' (x0). В определении (1) фундаментальное решение уравнения Лапласа может быть заменено на произвольную функцию Леви для общего эллиптич. оператора 2-го порядка с переменными коэффициентами, а д/дn- на производную по конормали. При этом остаются справедливыми свойства, перечисленные выше (см. [2]). Д. с. п. играет важную роль в решении краевых задач для эллиптич. уравнений. Представление искомого решения (первой) краевой задачи в виде Д. с. п. с неизвестной плотностью m(y) и использование свойства 2) приводит к интегральному Фредгольма уравнению второго рода на Г для определения функции m(у)(см. [1], [2]). При решении краевых задач для параболич. уравнений используется понятие теплового потенциала двойного слоя, т. е. интеграл вида [img: http://localhost:8080/file/020503-34.jpg] где G(x, t; у,t) - фундаментальное решение уравнения теплопроводности в N-мерном пространстве: [img: http://localhost:8080/file/020503-35.jpg] s(у, т) - плотность потенциала. Функция v(x, t)и ее обобщение на случай произвольного параболич. уравнения 2-го порядка обладают свойствами, аналогичными указанным выше для и(х)(см. [3], [4], [5]).