Двойные и дуальные числа

- гиперкомплексные числа вида a+bе, где аи b- действительные числа, и для двойных чисел е 2= + 1, а для дуальных чисел е 2=0. Сложение Д. и д. ч. определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/020503-92.jpg] Умножение двойных чисел производится по формуле [img: http://localhost:8080/file/020503-93.jpg] а дуальных чисел - по формуле [img: http://localhost:8080/file/020503-94.jpg] Комплексные числа, двойные числа и дуальные числа наз. также комплексными числами гиперболического, эллиптического и параболического типов соответственно. Иногда при помощи этих чисел изображают движения трехмерных пространств Лобачевского, Римана и Евклида (см., напр., Винтовое исчисление). Как двойные, так и дуальные числа образуют двумерные (с базой 1 и е)ассоциативно-коммутативные алгебры над полем действительных чисел. В отличие от поля комплексных чисел эти алгебры содержат делители нуля, причем в алгебре двойных чисел все делители нуля имеют вид [img: http://localhost:8080/file/020503-95.jpg] Алгебра двойных чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей действительных чисел. С этим свойством связано еще одно название двойных чисел - расщепляемые комплексные числа. Встречается и другое наименование двойных чисел - паракомплексные числа. Алгебра дуальных чисел рассматривается не только над полем Rдействительных чисел, но и над произвольным полем или коммутативным кольцом. Пусть A - коммутативное кольцо с единице и Месть А-модуль. Прямая сумма А-модулей А [img: http://localhost:8080/file/020503-96.jpg] M. относительно умножения [img: http://localhost:8080/file/020503-97.jpg] является коммутативной А-алгеброй и обозначается IA (М). Она наз. алгеброй дуальных чисел относительно модуля М. A -модуль Мотождествляется с идеалом алгебры IA (М), служащим ядром пополняющего гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/020503-98.jpg] При этом квадрат М 2 данного идеала равен нулю, а [img: http://localhost:8080/file/020503-99.jpg] Если А- регулярное кольцо, то верно и обратное: если Весть А-алгебра и М- идеал в Втакой, что M2=0 и [img: http://localhost:8080/file/020503-100.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/020503-101.jpg] где Мрассматривается как А -модуль (см. [4]). При М=А алгебра IA (М)(обозначаемая в этом случае IA)изоморфна факторалгебре алгебры многочленов (Т)по идеалу Т 2. Многие свойства A-модуля Мможно переформулировать как свойства алгебры 1A (М), что позволяет сводить многие вопросы об А-модулях к соответствующим вопросам в теории колец (см. [2]). Если В- произвольная A-алгебра, [img: http://localhost:8080/file/020503-102.jpg] - гомоморфизм и д:. [img: http://localhost:8080/file/020503-103.jpg] - дифференцирование В со значением в A-модуле М, рассматриваемом как В- модуль относительно гомоморфизма j, то отображение [img: http://localhost:8080/file/020503-104.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020503-105.jpg] является гомоморфизмом А-алгебры. Обратно, для любого гомоморфизма A-алгебр f [img: http://localhost:8080/file/020503-106.jpg] композиция [img: http://localhost:8080/file/020503-107.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020503-108.jpg] - проекция А на М, является A-дифференцированием Всо значением в М, рассматриваемом как B-модуль относительно гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/020503-109.jpg] Это свойство Д. и д. ч. используется для определения касательного пространства к произвольному функтору на категории схем [1], [3].