Двумерное многообразие ограниченной кривизны

- метрическое пространство, являющееся двумерным многообразием с внутренней метрикой, для к-рого определены аналоги таких понятий двумерной римановой геометрии, как длина и интегральная кривизна кривой, площадь и интегральная гауссова кривизна множества. Частным случаем Д. м. о. к. являются двумерные римановы пространства и поверхности многогранников в трехмерном евклидовом пространстве. В общем случае класс Д. м. о. к. может рассматриваться как замыкание класса двумерных римановых многообразий относительно надлежащих предельных переходов. Пусть М- двумерное риманово многообразие, К(х)- гауссова кривизна Мв точке х; а (Е)- площадь множества [img: http://localhost:8080/file/020506-16.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/020506-17.jpg] кривизна: [img: http://localhost:8080/file/020506-18.jpg] абсолютная кривизна: [img: http://localhost:8080/file/020506-19.jpg] положительная часть кривизны множества Е: [img: http://localhost:8080/file/020506-20.jpg] где К +(x) = max {0, К(х)}. Если х и у- две точки риманова пространства М, то r(х, у)- нижняя грань длин кривых на М, соединяющих точки хи у. Функция р является внутренней метрикой. Она наз. естественной метрикой риманова пространства М. Пусть М- произвольное двумерное многообразие с метрикой r. Говорят, что метрика r - риманова, если многообразие М, наделенное метрикой r, изометрично нек-рому двумерному риманову пространству, снабженному его естественной метрикой. Двумерное многообразие Мс внутренней метрикой р есть Д. м. о. к., если выполнено следующее условие. Существует последовательность римановых метрик rn, n=1, 2,..., определенных на многообразии М, такая, что для всякого компактного множества [img: http://localhost:8080/file/020506-21.jpg] будет [img: http://localhost:8080/file/020506-22.jpg] равномерно (т. е. функции rn(х, у)сходятся к функции r(х, у)равномерно на множестве [img: http://localhost:8080/file/020506-23.jpg]) и последовательность |w п|. (A), n=1, 2,..., ограничена, где |w п| - абсолютная кривизна римановой метрики рД. Д. м. о. к. может быть определено аксиоматически. В части достаточности условия данного здесь определения Д. м. о. к. могут быть ослаблены. Именно, двумерное многообразие Мс внутренней метрикой р будет Д. м. о. к., если для всякой его точки можно указать окрестности Uи V, где [img: http://localhost:8080/file/020506-24.jpg] и последовательность римановых метрик r п, n=1, 2,..., определенных на Uтаким образом, что [img: http://localhost:8080/file/020506-25.jpg] равномерно на V, и последовательность {w п+(V)} ограничена. Для всякого Д. м. о. к. определены вполне аддитивные функции множества s(Е)и w(Е)- площадь и, соответственно, кривизна множества. В отличие от риманова случая, w(Е)может и не быть абсолютно непрерывна от. Всякая выпуклая поверхность в трехмерном евклидовом пространстве есть Д. м. о. к. В этом случае кривизна множества всегда неотрицательна. Д. м. о. к. допускают особенности типа конич. точек р(для таких точек w({р})отлично от нуля), ребер, границы основания цилиндра и т. д.