Двучленное сравнение

- алгебраическое сравнение вида [img: http://localhost:8080/file/020506-67.jpg] (1) где а, т- взаимно простые целые числа, а [img: http://localhost:8080/file/020506-68.jpg] - натуральное число. Если сравнение (1) разрешимо, то аназ. вычетом степени ппо модулю т. В противном случае аназ. невычетом степени ппо модулю т. Вопрос о разрешимости Д. с. по составному модулю тсводится к изучению аналогичного вопроса для случая простого модуля р(см. Сравнение). Для простого модуля имеется критерий разрешимости, доказанный Л. Эйлером (L. Euler): для разрешимости сравнения [img: http://localhost:8080/file/020506-69.jpg] необходимо, чтобы выполнялось условие [img: http://localhost:8080/file/020506-70.jpg] где d - наибольший общий делитель чисел пи р-1; при выполнении этого условия данное сравнение имеет ровно d решений. Из критерия Эйлера непосредственно следует, что среди чисел 1, 2,..., р-1 имеется в точности (р-1)/d вычетов и (d-1)(d-1)/d невычетов степени ппо модулю р. Значительно сложнее обратная задача: найти все модули р, по к-рым заданное число аявляется вычетом (или невычетом) степени [img: http://localhost:8080/file/020506-71.jpg] Л. Эйлером установлено, что разрешимость или неразрешимость сравнения x2=a(mod p)зависит от того, принадлежит или нет простой модуль рнекоторым арифметич. прогрессиям. Полное доказательство этого результата впервые получил К. Гаусс (С. Gauss, 1801; см. [4], а также Гаусса закон взаимности, Квадратичный закон взаимности). Более того, К. Гаусс заметил, что полное решение указанной задачи при [img: http://localhost:8080/file/020506-72.jpg] возможно только в нек-ром расширении кольца целых рациональных чисел. Так, для установления закона взаимности для биквадратичных вычетов он вынужден был расширить кольцо целых рациональных чисел до кольца целых комплексных чисел Z[i]. Разрешимость или неразрешимость биквадратичного сравнения z4=w(mod p)в кольце Z[i]при заданном [img: http://localhost:8080/file/020506-73.jpg] зависит от того, каков вычет числа рпо нек-рому постоянному модулю D кольца Z[i]. Новый этап в изучении Д. с. и их применений к другим задачам теории чисел был начат работами И. М. Виноградова, к-рый в 1914 доказал, что количество Rквадратичных вычетов по простому модулю рсреди чисел 1, 2,...,Q, [img: http://localhost:8080/file/020506-74.jpg] выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/020506-75.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020506-76.jpg] Аналогичный результат был впоследствии получен И. М. Виноградовым и для более общей задачи о числе решений [img: http://localhost:8080/file/020506-77.jpg] сравнения когда упробегает неполную систему вычетов 1<y<Q.