Дедекиндова решетка

дедекиндова структура, модулярная решетка (структура),- решетка, в к-рой справедлив модулярный закон, т. е. [img: http://localhost:8080/file/020507-6.jpg] влечет (a+b)c=а+bс для всякого Ь. Высказанное требование равносильно справедливости тождества (ас+b) с=ас+bс. Примерами Д. р. служат решетки подпространств линейного пространства, нормальных делителей (но не подгрупп) группы, идеалов кольца и др. Решетка, имеющая композиционный ряд, является Д. р. тогда и только тогда, когда на ней существует функция размерности d, т. е. такая целочисленная функция, что d(x+y)+d(xy) = d(x)+d(y)и что из простоты интервала [a, b]вытекает d(b)=d(a)+l. Если w=a1(1)... а m1(1)=а 1(2)... am2(2), каждый из элементов а i(k) не представим в виде произведения [img: http://localhost:8080/file/020507-7.jpg] отличных от него элементов и то т 1 = т2 и для всякого а (1)i найдется такой элемент a(2)j, что [img: http://localhost:8080/file/020507-8.jpg] (см. [3], [6]). Ненулевые элементы a1,..., а n из Д. р. с нулем 0 называются независимыми, если (а 1+... + ai-1+ai+1+... +an)ai = 0 для всех г. Это определение позволяет обобщить многие свойства линейно независимых систем векторов (см. [3], [5], [6]). Если а 1,..., а п независимы, то их сумма обозначается как [img: http://localhost:8080/file/020507-9.jpg] Теорема Оре: если Д. р. имеет композиционный ряд и [img: http://localhost:8080/file/020507-10.jpg] причем каждый из элементов а (k)i не представляется в виде суммы двух независимых элементов, то m1=m2 и для всякого а (i)i найдется такой элемент a(2)j, что и [img: http://localhost:8080/file/020507-11.jpg] (см. [3], [6]). В случае полных Д. р., подчиненных нек-рым дополнительным требованиям, теоремы о независимых элементах и прямых разложениях можно распространить на беоконечные множества (см. [4], [5]). Исследовались Д. р. с дополнениями, то есть Д. р. с 0 и 1, для каждого элемента хк-рых существует хотя бы один такой элемент у(наз. дополнением элемента х), что х+у=1, ху=0. Д. р. с дополнениями, обладающая композиционным рядом, изоморфна Д. р. всех подпространств конечномерного линейного пространства над нек-рым телом. Полная Д. p. Lс дополнениями изоморфна Д. р. всех подпространств линейного пространства (не обязательно конечномерного) над нек-рым телом тогда и только тогда, когда: а) если [img: http://localhost:8080/file/020507-12.jpg] то найдется атом [img: http://localhost:8080/file/020507-13.jpg]. б) если р- атом и [img: http://localhost:8080/file/020507-14.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020507-15.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/020507-16.jpg] для нек-рого конечного множества [img: http://localhost:8080/file/020507-17.jpg];в)если р, q- атомы, то найдется атом [img: http://localhost:8080/file/020507-18.jpg] причем [img: http://localhost:8080/file/020507-19.jpg] q;. г) существует не менее трех независимых атомов. Условие г) можно заменить требованием справедливости Дезарга предложения (см. [2]). Дальнейшее обобщение этого результата, приводящее к регулярным кольцам (см. [7], [5]), смыкается с теорией алгебр Неймана. Для Д. р. с композиционным рядом наличие дополнений равносильно представимости единицы в виде суммы атомов. Д. р. названы в честь Р. Дедекинда, к-рый первым сформулировал модулярный закон и установил ряд его следствий [1].