Деления круга многочлен

круговой многочлен,- многочлен, имеющий вид [img: http://localhost:8080/file/020508-70.jpg] где jk - первообразные корни степени n из единицы и произведение берется по всем числам к, взаимно простым с n и взятым из ряда 1, 2,..., n. Степень многочлена Ф п (х)- число натуральных чисел, меньших, чем л, и взаимно простых с га. Д. к. м. удовлетворяют соотношению где произведение [img: http://localhost:8080/file/020508-71.jpg] берется по всем положительным делителям dчисла га, включая и само га. Это соотношение позволяет рекурсивно вычислять многочлены Ф п (х)путем деления многочлена х п-1 на произведение всех Ф d (х), d<n, d|n. При этом коэффициенты многочлена оказываются лежащими в исходном простом поле Р, а в случае поля рациональных чисел - целыми числами. Так, [img: http://localhost:8080/file/020508-72.jpg] Если п=р- простое и поле Римеет характеристику 0, то [img: http://localhost:8080/file/020508-73.jpg] Для многочлена Ф п (х)можно указать явное выражение через Мёбиуса функциюm(k): Напр., [img: http://localhost:8080/file/020508-74.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020508-75.jpg] Над полем рациональных чисел все многочлены Ф п (х)неприводимы, но над конечными простыми полями эти многочлены могут быть приводимы. Так, над полем вычетов по модулю 11 имеет место соотношение: [img: http://localhost:8080/file/020508-76.jpg] Уравнение Ф n (х) = 0, дающее все первообразные корни п-й степени из единицы, наз. уравнением деления круга (окружности). Решение этого уравнения в тригонометрич. форме имеет вид: [img: http://localhost:8080/file/020508-77.jpg] где дробь kin несократима, т. е. ки пвзаимно просты. Решение в радикалах уравнения деления круга тесно связано с задачей построения правильного га-угольника или с эквивалентной ей задачей деления окружности на n равных частей, а именно, задача деления окружности на n частей решается с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда уравнение Ф n(x) = 0 решается в квадратных радикалах. Последнее, как доказал К. Гаусс (С. Gauss, 1801), имеет место в том и только в том случае, когда [img: http://localhost:8080/file/020508-78.jpg] где т- целое неотрицательное число и р 1; р 2,..., ps- попарно различные простые числа, представимые в виде 22k+1 с целым неотрицательным к.