Делимость

в кольце - обобщение понятия делимости целых чисел нацело (см. Деление). Элемент акольца Аделится на другой элемент [img: http://localhost:8080/file/020509-41.jpg] если существует такой [img: http://localhost:8080/file/020509-42.jpg] что а=bс. При этом говорят также, что 6 делит а, и аназ. кратным элемента b, а b - делителем элемента а. Для обозначения Д. ана bупотребляют символ b|а. В любом ассоциативно-коммутативном кольце имеют место следующие свойства Д.: [img: http://localhost:8080/file/020509-43.jpg] Последние два свойства равносильны тому, что множество элементов, делящихся на b, образует идеал bА кольца А(главный идеал, порожденный элементом b), к-рый содержит b, если А- кольцо с единицей. В области целостности элементы аи bделятся друг на друга одновременно (а|b и b|а)тогда и только тогда, когда они ассоциированы, т. е. a=eb, где e - обратимый элемент. Два ассоциированных элемента порождают один и тот же главный идеал. Делители единицы совпадают, по определению, с обратимыми элементами. Простым элементом в кольце наз. ненулевой элемент, не имеющий собственных делителей, кроме делителей единицы. В кольце целых чисел такие элементы наз. простыми числами, в кольце многочленов - неприводимыми многочленами. Кольца, в к-рых подобно кольцу целых, чисел или кольцу многочленов имеет место однозначное разложение на простые множители (с точностью до делителей единицы и порядка следования), наз. факториалъными кольцами. В таком кольце для всякой конечной совокупности элементов существуют наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, оба определенные однозначно с точностью до делителей единицы.