Диезная норма

в пространстве r-мерных полиэдральных цепей С r(Е п) - наибольшая из полунорм [img: http://localhost:8080/file/020515-72.jpg] удовлетворяющих для любой клетки sr объема |sr| неравенствам: [img: http://localhost:8080/file/020515-73.jpg] где Tvsr - клетка, полученная сдвигом на вектор длины |u|. Если А = е а isir, то Д. н. А* выражается так: [img: http://localhost:8080/file/020515-74.jpg] где | С|b- бемольная норма цепи С. Имеет место: [img: http://localhost:8080/file/020515-75.jpg] если r=0, то [img: http://localhost:8080/file/020515-76.jpg] Пополнение пространства С r(Е п). является сепарабельным банаховым пространством [img: http://localhost:8080/file/020515-77.jpg] элементы к-рого наз. r-мерными диезными цепями. Для любой r-мерной полиэдральной цепи Аи любого вектора vимеет место [img: http://localhost:8080/file/020515-78.jpg] где TvA- цепь, полученная сдвигом Ана вектор vдлины |v|. Бемольная цепь конечной массы является диезной цепью; вообще любую бемольную цепь можно рассматривать и как диезную цепь в таком смысле: если [img: http://localhost:8080/file/020515-79.jpg] А i, где Ai- полиэдральные цепи, и [img: http://localhost:8080/file/020515-80.jpg] где y.- линейное биективное отображение пространства [img: http://localhost:8080/file/020515-81.jpg] в пррстранствои [img: http://localhost:8080/file/020515-82.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020515-83.jpg] плотно в [img: http://localhost:8080/file/020515-84.jpg] при Д. н. Дать корректное определение границы дА диезной цепи невозможно (см. [1], с. 242, пример (с)); r-мерная диезная коцепь Х=ХА есть элемент пространства [img: http://localhost:8080/file/020515-85.jpg] сопряженного к [img: http://localhost:8080/file/020515-86.jpg] она является бемольной коцепью, причем [img: http://localhost:8080/file/020515-87.jpg] где |Х| - ко масса X, а диезная конорма [img: http://localhost:8080/file/020515-88.jpg] определяется аналогично бемольной норме | Х|b. Кограница dX диезной коцепи не обязана быть диезной ([1], с. 241, пример (а)), однако [img: http://localhost:8080/file/020515-89.jpg] Константа Липшица [img: http://localhost:8080/file/020515-90.jpg] коцепи Xопределяется следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/020515-91.jpg] где А - полиэдральные цепи. Для диезных коцепей эта верхняя грань конечна и [img: http://localhost:8080/file/020515-92.jpg] Любая бемольная коцепь с конечной константой Липшица является диезной, причем [img: http://localhost:8080/file/020515-93.jpg] и, кроме того, [img: http://localhost:8080/file/020515-94.jpg] Аналогичные понятия вводятся для r-мерных полиэдральных цепей в открытых подмножествах [img: http://localhost:8080/file/020515-95.jpg] См. также Диезная форма. Диезная норма в пространстве аддитивных функций у, значениями к-рых являются r- векторы,- наибольшая из полунорм |Х|', удовлетворяющих условиям: [img: http://localhost:8080/file/020515-96.jpg] где | у|- полная вариация g; [img: http://localhost:8080/file/020515-97.jpg] где Tvg(Q)=gT-v(Q).- сдвиг функции уна вектор vдлины |v|:T_v(Q) = {q-v, q ОQМ En};. для каждой точки ри любого е существует h>0 такое, что [img: http://localhost:8080/file/020515-98.jpg] если носитель sp [img: http://localhost:8080/file/020515-99.jpg] и у(Е п)=0. Д. н. [img: http://localhost:8080/file/020515-100.jpg] имеет представление [img: http://localhost:8080/file/020515-101.jpg] где w - r-мерные диезные формы, для к-рых Лит. см. при статье Бемольная норма. [img: http://localhost:8080/file/020515-102.jpg] М. И. Войцеховский.