Диезная форма

- r-мерная дифференциальная форма со в открытом подмножестве [img: http://localhost:8080/file/020515-103.jpg] такая, что конечны комасса |w|0 икомассовая константа Липшица [img: http://localhost:8080/file/020515-104.jpg] где р, [img: http://localhost:8080/file/020515-105.jpg] и |р-q|- длина вектора р-q. Диезной нормой формы w наз. число [img: http://localhost:8080/file/020515-106.jpg] Теорема Уитни. Каждой r-мерной диезной коцепи Xв Rсоответствует единственная r-мерная Д. ф. sX, [img: http://localhost:8080/file/020515-107.jpg] для которой для всех r-мерных ориентированных симплексов sr;.sX (р). определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/020515-108.jpg] где s1, s2,...- последовательность расположенных в одной и той же плоскости симплексов, содержащих точку р, диаметры к-рых [img: http://localhost:8080/file/020515-109.jpg] Это соответствие является взаимно однозначным линейным отображением пространства коцепей [img: http://localhost:8080/file/020515-110.jpg] в пространство [img: http://localhost:8080/file/020515-111.jpg] Д. ф., причем: [img: http://localhost:8080/file/020515-112.jpg], т. е. комассе X; [img: http://localhost:8080/file/020515-113.jpg] т. е. константе Липшица X; [img: http://localhost:8080/file/020515-114.jpg] т. е. диезной норме X; [img: http://localhost:8080/file/020515-115.jpg] является банаховым пространством. В частности, нульмерным диезным коцепям соответствуют диезные функции - ограниченные функции, удовлетворяющие условию Липшица. Пространство [img: http://localhost:8080/file/020515-116.jpg] r-мерных диезных цепей Аконечной массы |А| с диезной нормой [img: http://localhost:8080/file/020515-117.jpg] изоморфно пространству [img: http://localhost:8080/file/020515-118.jpg] аддитивных функций множества, значениями к-рых являются r-векторы g, наделенному диезной нормой [img: http://localhost:8080/file/020515-119.jpg] это соответствие определяется формулой: [img: http://localhost:8080/file/020515-120.jpg] для любой коцепи X, где wX есть r-мерная Д. ф., соответствующая коцепи X, и имеет место: gA(Е п)= {А}, т. е. ковектору цепи А, |А| = |уА|, т. е. полной вариации g А, [img: http://localhost:8080/file/020515-121.jpg] т. е. диезной норме цепи А. Таким образом, (*) является обобщением обычного интеграла Лебега - Стилтьеса. В частности, для Атогда и только тогда существует измеримая по Лебегу суммируемая функция a(р), ассоциированная с А(см. Бемольная форма), то есть [img: http://localhost:8080/file/020515-122.jpg] для любой коцепи X, если gA абсолютно непрерывна. Если wX- регулярная форма, X- диезная коцепь, то существует форма wdX=dwX имеет место формула Стокса [img: http://localhost:8080/file/020515-123.jpg] Аналогично обобщаются и другие результаты, установленные для регулярных форм. Лит. см. при статье Бемольная форма. М. И. Войцеховский.