Дирихле вариационная задача

- задача отыскания минимума Дирихле интеграла [img: http://localhost:8080/file/020520-31.jpg] при заданных граничных условиях u| дG=j, где функция j задана на границе дG га-мерной области G. Решение этой задачи является и решением первой краевой задачи для уравнения Лапласа: [img: http://localhost:8080/file/020520-32.jpg] Д. в. з.- первая задача на минимизацию функционала, к к-рой было сведено решение краевой задачи для дифференциального уравнения с частными производными. Д. в. з. естественно рассматривать в классе функций, имеющих первые обобщенные производные, суммируемые с квадратом. В случае ограниченной области это множество функций совпадает с Соболева пространством [img: http://localhost:8080/file/020520-33.jpg] и потому обладает свойством полноты в соответствующей метрике. Кроме того, каждая функция этого пространства имеет на дG граничные значения в смысле сходимости почти всюду, к-рые в случае достаточной гладкости границы совпадают с граничными значениями в смысле сходимости в среднем или в смысле предела граничных значений непрерывных в замкнутой области функций, аппроксимирующих в метрике пространства [img: http://localhost:8080/file/020520-34.jpg] заданную функцию. Если G- ограниченная область и если существует хоть одна функция и, для к-рой [img: http://localhost:8080/file/020520-35.jpg] (такие функции наз. допустимыми), то решение u0 Д. в. з. существует и единственно. Это решение и 0 является гармонической в G функцией (см. Дирихле принцип). Если граница дG области G гладкая, то для того чтобы класс допустимых функций был не пуст, необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/020520-36.jpg] Решение и 0 Д. в. з. может быть найдено прямым вариационным методом. Эти результаты обобщаются как на случай квадратичных эллиптич. функционалов, содержащих производные высших порядков, так и на случай неограниченных областей.