Дирихле интеграл

- функционал, связанный с решением Дирихле задачи для уравнения Лапласа вариационным методом. Пусть Q- ограниченная область в Rn с границей Г класса С 1, х=(х 1,..., х п), а функция [img: http://localhost:8080/file/020520-59.jpg] (см. Соболева пространство). Д. и. для функции и(х)наз. выражение [img: http://localhost:8080/file/020520-60.jpg] Для некоторой заданной на Г функции j(х)рассматривается множество pj функций из W12(W), к-рые удовлетворяют граничному условию u|x О Г= j. Если множество pj не пусто, то существует единственная функция [img: http://localhost:8080/file/020520-61.jpg] для которой [img: http://localhost:8080/file/020520-62.jpg] и эта функция является гармонической в области Q. Верно и обратное утверждение: если гармонич. функция и 0 (х)принадлежит множеству pj, то на ней достигается inf D[u]. Таким образом, и а (х)является обобщенным из [img: http://localhost:8080/file/020520-63.jpg] решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Однако не для всякой функции j можно найти такую функцию и 0 (х). Существуют даже непрерывные на Г функции, для к-рых множество pj пусто, т. е. в пространстве [img: http://localhost:8080/file/020520-64.jpg] не существует ни одной функции и(х), удовлетворяющей условию u|x О Г= j. Классич. решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с такой граничной функцией j не может иметь конечного Д. и. и не является обобщенным решением из пространства [img: http://localhost:8080/file/020520-65.jpg]