Дискретная серия

представлений - семейство непрерывных неприводимых унитарных представлений локально компактной группы G, эквивалентных представлениям регулярного представления этой группы. Если группа Gунимодулярна, то непрерывное неприводимое унитарное представление p группы Gтогда и только тогда принадлежит Д. с, когда матричные элементы представления p лежат в L2(G). В этом случае существует такое положительное число dp, называемое формальной размерностью представления л, что соотношения [img: http://localhost:8080/file/020522-80.jpg] выполняются для всех векторов x, h, x', h' из пространства Н p представления p. Если p1, p2 - два неэквивалентных представления группы Gв пространствах Н 1 Н 2, соответственно, принадлежащие Д. с, то для любых x1, [img: http://localhost:8080/file/020522-81.jpg] x2, [img: http://localhost:8080/file/020522-82.jpg] выполняются соотношения [img: http://localhost:8080/file/020522-83.jpg] Соотношения (1)-(4) являются обобщениями соотношений ортогональности для матричных элементов представлений компактных топологич. групп (см. Представления компактных групп);группа Gкомпактна тогда и только тогда, когда все непрерывные неприводимые унитарные представления группы Gпринадлежат Д. с, и если Gкомпактна и мера Хаара dg удовлетворяет условию [img: http://localhost:8080/file/020522-84.jpg] то число dp. совпадает с размерностью представления p. Односвязные нильпотентные вещественные группы Ли и комплексные полупростые группы Ли не имеют Д. с. Класс эквивалентности представления я, входящего в Д. с, является замкнутой точкой в дуальном пространстве [img: http://localhost:8080/file/020522-85.jpg] группы G, и мера Планшереля этой точки совпадает с формальной размерностью dp;если при этом нек-рый ненулевой матричный элемент представления p суммируем, то представление я является открытой точкой в носителе регулярного представления группы G, но открытые точки в [img: http://localhost:8080/file/020522-86.jpg] могут не соответствовать представлениям Д. с. Свойства представлений Д. с. частично распространяются на случай неунимодулярных локально компактных групп.