Дисперсионный метод

в теории чисел- метод для решения нек-рых бинарных уравнений (бинарных аддитивных проблем)вида [img: http://localhost:8080/file/020525-5.jpg] где a и b принадлежат к достаточно густым и хорошо распределенным в арифметич. прогрессиях последовательностям натуральных чисел. Д. м., разработанный Ю. В. Линником в 1958-61 и поэтому называемый также дисперсионным методом Линника, соединяет в себе элементарные теоретико-вероятностные понятия (в частности, понятие дисперсии и неравенства типа Чебышева) с аналитич. и алгебраич. идеями И. М. Виноградова иА. Вейля (A. Weil). Сущность Д. м. состоит в следую щем (см. также Аддитивная теория чисел). Уравнение (1) сводится к уравнениям вида [img: http://localhost:8080/file/020525-6.jpg] здесь v, D' независимо пробегают нек-рые значения из прямоугольной области [img: http://localhost:8080/file/020525-7.jpg] где (v) и (D)- некоторые интервалы; при этом числа v - простые, а на D' могут быть наложены различные дополнительные условия. Пусть через Fобозначено число решений этого уравнения. Пусть теперь имеется уравнение [img: http://localhost:8080/file/020525-8.jpg] при произвольном [img: http://localhost:8080/file/020525-9.jpg] и через (п, D)обозначено число его решений, найденных из каких-либо эвристических соображений. Тогда (гипотетически) число ожидаемых решений уравнения (2) записывается в виде [img: http://localhost:8080/file/020525-10.jpg] Оценкаразности F-S= V имеет вид [img: http://localhost:8080/file/020525-11.jpg] Применение неравенства Коши приводит к неравенству [img: http://localhost:8080/file/020525-12.jpg] где D0- длина интервала (D), а [img: http://localhost:8080/file/020525-13.jpg] есть дисперсия числа решений уравнения (2). Если распространить суммирование в (5) на все D [img: http://localhost:8080/file/020525-14.jpg] (D), то будут сняты все дополнительные условия, наложенные на D' в (2). В то же время величина дисперсии может только возрасти. Поэтому [img: http://localhost:8080/file/020525-15.jpg] Суммы е 1, е 2 и е 3 в нек-рых случаях удается вычислить асимптотически. Главную трудность представляет вычисление е 1 - основной суммы Д. м. Асимптотич. расчет суммы е 1 осуществляется при помощи Виноградова метода по подсчету для нек-рых функций количества их дробных частей, попадающих в заданный сегмент, а также с использованием новейших оценок тригонометрич. сумм, полученных средствами алгебраич. геометрии. Асимптотика для сумм е 2 и е 3 находится путем элементарного суммирования. Если, в результате, дисперсия оказывается не слишком большой, то из (3) и (4) получается асимптотика для числа решений уравнения (2). Объединение числа решений всех уравнений вида (2) приводит к асимптотич. формуле для числа решений уравнения (1). Рассмотренная схема Д. м. применима и для решения уравнений вида [img: http://localhost:8080/file/020525-16.jpg] где l- заданное целое число, отличное от нуля. При помощи этого метода Ю. В. Линником и др. (см. [3]) был решен ряд классических бинарных аддитивных проблем, к-рые до создания Д. м. могли быть решены только на основе эвристических или гипотетических соображений. К числу таких проблем относятся: аддитивная проблема делителей(a=х 1, х 2... xk, k = const, b=xy); Титчмарша проблема делителей (a=р - простое, b=xy); Харди- Литлвуда проблема(a=р- простое, b=x2+y2). При помощи Д. м. решены также нек-рые аналоги и обобщения этих проблем, в частности найдена асимптотика для числа решений общего уравнения Харди - Литлвуда: р+j(x, h))=n, где р- простое, а j(x, h) - заданная примитивная положительно определенная квадратичная форма. Доказано существование бесконечного множества простых чисел вида p=j(x, h)+l, где [img: http://localhost:8080/file/020525-17.jpg] - любое фиксированное целое число. Область применения Д. м. пересекается с областью применения метода большого решета Ю. В. Линника.