Диффеоморфизм

дифференцируемый гомеоморфизм, гладкий гомеоморфизм,- взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение [img: http://localhost:8080/file/020525-95.jpg] дифференцируемого многообразия М(напр., области в евклидовом пространстве) в. дифференцируемое многообразие N, обратное к к-рому тоже является непрерывно дифференцируемым. Если f(M) = N, то говорят, что Ми Nдиффеоморфны. С точки зрения дифференциальной топологии, диффеоморфные многообразия имеют одинаковые свойства, и она интересуется классификацией многообразий с точностью до Д. (последняя не совпадает с более грубой классификацией с точностью до гомеоморфизма, исключая случаи малых размерностей). Хотя сам термин "Д." был введен сравнительно недавно, фактически многочисленные преобразования и замены переменных, давно используемые в математике, являются Д., а многие семейства преобразований - группами Д. В частности, это относится к Д., сохраняющим ту или иную дополнительную структуру на многообразии (напр., контактную, симплектическую, конформную или комплексную). Исторически такие Д. в ряде случаев получили особые названия (в указанных примерах - контактные преобразования и канонические отображения, конформные отображения и биголоморфные отображения), вместо к-рых в последнее время (70-е гг. 20 в.) нередко употребляют термин "Д." с добавлением прилагательного, характеризующего сохраняемую структуру (напр., "симплектический Д." вместо "канонического преобразования"). Изучались и топологические (точнее, гомотопические) свойства группы Diff M всех Д. многообразия Мна себя, в к-рой надлежащим образом введена топология. Они могут быть неожиданно сложными (см., напр., [1], где имеются также обзор и библиография). Этот вопрос связан с рядом важных задач гомотопич. топологии (напр., с гомотопич. группами сфер). В принципе знание свойств DiffAf помогло бы в решении этих задач, однако в настоящее время (1978) ситуация является скорее обратной: продвижение в изучении DiffAf связано как раз с использованием того, что уже известно об этих задачах, или, в лучшем случае, осуществляется параллельно с их решением и при помощи тех же методов. Относительно алгебраич. свойств группы Д. класса С r (случай [img: http://localhost:8080/file/020525-96.jpg] не исключается) замкнутого n-мерного многообразия доказано, что при [img: http://localhost:8080/file/020525-97.jpg] ее связная компонента единицы является простой группой, т. е. не имеет нетривиальных нормальных делителей (см. [2], [3]; при r=n+1 ситуация не выяснена). Для незамкнутого re-мерного многообразия Мдоказана простота группы всех тех Д. f класса С r([img: http://localhost:8080/file/020525-98.jpg]), к-рые можно соединить с тождественным отображением 1 М; посредством непрерывного семейства Д. ft ([img: http://localhost:8080/file/020525-99.jpg], f0=1M; f1=f), не сдвигающего точек вне нек-рого компакта (зависящего от этого семейства).