Дифференциальная форма

- 1) Д. ф. степени р, р - форма на дифференцируемом многообразии М- р раз ковариантное тензорное поле на М. Ее можно интерпретировать также как р-линейное (над алгеброй F(M)гладких вещественных функций на М)отображение [img: http://localhost:8080/file/020528-13.jpg] F(M), где [img: http://localhost:8080/file/020528-14.jpg] есть Р(М) -модуль гладких векторных полей на М. Формы степени 1 наз. также пфаффовыми формами. Примером такой формы является дифференциал df гладкой функции fна М, определяемый следующим образом: (df)(X), [img: http://localhost:8080/file/020528-15.jpg] есть производная Xf функции f по направлению поля X. Римановы метрики на многообразии Мслужат примерами симметрических Д. ф. степени 2. Часто, однако, термин "Д. ф." относят к кососимметрическим, или внешним Д. ф., имеющим наибольшее число приложений. Если (х 1,..., х n) - локальная система координат в области [img: http://localhost:8080/file/020528-16.jpg] то формы dx1,..., dxn составляют базис в кокасательном пространстве Т x (М)*, [img: http://localhost:8080/file/020528-17.jpg] Поэтому (см. Внешняя алгебра)любая внешняя р- форма a. записывается в Uв виде [img: http://localhost:8080/file/020528-18.jpg] где а,-,,Х - функции в U. В частности, [img: http://localhost:8080/file/020528-19.jpg] Пусть Е Р=Е Р (М).- пространство всех внешних р- форм класса С°°, причем E0(M)=F(M). Внешнее умножение [img: http://localhost:8080/file/020528-20.jpg] превращает(где n=dim M)в ассоциативную [img: http://localhost:8080/file/020528-21.jpg] градуированную алгебру над F(M), удовлетворяющую условию градуированной коммутативности [img: http://localhost:8080/file/020528-22.jpg] Гладкое отображение многообразий [img: http://localhost:8080/file/020528-23.jpg] порождает гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/020528-24.jpg] алгебр над R. Понятие дифференциала функции обобщается следующим образом. Для всякого [img: http://localhost:8080/file/020528-25.jpg] существует единственное линейное отображение d: [img: http://localhost:8080/file/020528-26.jpg] (внешний дифференциал), совпадающее при р=0с введенным выше дифференциалом и обладающее свойствами: [img: http://localhost:8080/file/020528-27.jpg] Внешний дифференциал формы а, записанной в локальных координатах в виде (1), выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/020528-28.jpg] Его бескоординатная запись: [img: http://localhost:8080/file/020528-29.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020528-30.jpg] Оператор взятия Ли производной LX, [img: http://localhost:8080/file/020528-31.jpg] на Д. ф. связан с внешним дифференциалом соотношением [img: http://localhost:8080/file/020528-32.jpg] где tX: [img: http://localhost:8080/file/020528-33.jpg] - оператор внутреннего умножения на X: [img: http://localhost:8080/file/020528-34.jpg] Оператор dпревращает Е* (М)в коцепной комплекс (комплекс де Рама). Коциклы этого комплекса наз. замкнутыми формами, кограницы - точными формами. Согласно де Рама теореме, алгебра когомологий [img: http://localhost:8080/file/020528-35.jpg] комплекса де Рама изоморфна алгебре Н* (М,R.) вещественных когомологий многообразия М. В частности, HP(Rn) =0 при р>0 (лемма Пуанкаре). С теоремой де Рама тесно связана другая операция - интегрирование Д. ф. Пусть D- ограниченная область в Rp, s- гладкое отображение [img: http://localhost:8080/file/020528-36.jpg] определенное в окрестности замыкания D. Если [img: http://localhost:8080/file/020528-37.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/020528-38.jpg] где а- гладкая функция в D. Интеграл формы a по поверхности s определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/020528-39.jpg] Если Dимеет кусочно гладкую границу, то справедлива формула [img: http://localhost:8080/file/020528-40.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020528-41.jpg] определяется как сумма интегралов формы a по гладким кускам границы, снабженных естественными параметризациями. Частными случаями этой формулы являются классич. формулы Ньютона - Лейбница, Грина, Гаусса - Остроградского, Стокса (см. также Стокса теорема). В силу формулы (3) каждая замкнутая р-форма a. определяет р-мерный сингулярный коцикл, значение к-рого на симплексе s равно [img: http://localhost:8080/file/020528-42.jpg] Это соответствие как раз и реализует изоморфизм из теоремы де Рама. Формула (3) была опубликована в 1899 А. Пуанкаре (см. [2]), к-рый рассматривал внешние формы как подинтегральные выражения для образования интегральных инвариантов. Одновременно Э. Картан (см. [3]) дал близкое к современному определение внешних форм и внешнего дифференциала (вначале на пфаффовых формах), подчеркнув связь своей конструкции с внешней алгеброй. Наряду с определенными выше скалярными внешними формами можно рассматривать внешние Д. ф. со значениями в векторном пространстве Vнад R. Если Vявляется алгеброй, то в пространстве Е(М, V)форм со значениями в Vопределено естественное умножение (обобщение внешнего умножения). Если при этом алгебра V-ассоциативна, то и Е(М, V)ассоциативна; если Vкоммутативна, то Е(М, V). градуированно-коммутативна (формула (2)); если V- алгебра Ли, то Е(М, V)- градуированная алгебра Ли. Часто рассматривается также следующее, еще более общее понятие. Пусть F- гладкое векторное расслоенное пространство с базой М. Если сопоставить каждой точке хО М кососимметрическую р-линейную функцию на Т x (М)со значениями в слое Fx расслоения F, то получится так наз. F-значная р-форма. F-значную р-форму можно интерпретировать также как р-линейное (над F(M))отображение модуля [img: http://localhost:8080/file/020528-43.jpg] в модуль гладких сечений расслоения F. Пространство таких форм обозначается Е р(F). Если Fзадано локально постоянными функциями перехода или, что то же, в F задана плоская связность, то можно корректно определить комплекс де Рама и обобщить теорему де Рама на этот случай. Формы со значениями в касательном расслоении Т(М)наз. также векторными Д. ф.; векторные р-формы можно отождествить с р раз ковариантными и 1 раз контравариантными тензорными полями на М, кососимметричными по ковариантным индексам. С помощью векторных Д. ф. описываются дифференцирования алгебры внешних форм Е(М)[4]. Векторные формы (а также их обобщение - струйные формы) находят применение в теории деформаций комплексных и других дифференциально-геометрич. структур на многообразиях. продолжение Дифференциальная форма.... Аналоги Д. ф. можно построить также в симплициальной теории. Одна из таких конструкций, восходящая к X. Уитни [5], может быть использована для вычисления рациональных когомологий симплициального комплекса K. Кусочно линейной формой (или PL -формой) на K наз. согласованный набор Д. ф., заданных на симплексах комплекса Ки имеющих в качестве коэффициентов при записи в барицентрич. координатах многочлены с рациональными коэффициентами. PL -формы на Кобразуют градуированно-коммутативную дифференциальную алгебру E*pl(K)над Q. Интегрирование форм определяет изоморфизм алгебры когомологий этой алгебры на алгебру Н*(|K|,Q), где | К| -полиэдр, отвечающий комплексу К. Алгебра E*PL(K)полностью определяет также рациональный гомотопич. тип (в частности, ранги гомотопич. групп) пространства | К|. Аналогично алгебра Е* (М)на дифференцируемом многообразии Мопределяет его вещественный гомотопич. тип [9]. Исчисление внешних форм на комплексном аналитич. многообразии имеет ряд особенностей [6]. В этой ситуации обычно рассматриваются пространства ЕР(М, С) комплекснозначных форм или пространства EP(F), где F.- голоморфное векторное расслоение на М. Имеет место разложение [img: http://localhost:8080/file/020529-15.jpg] где Er, s(M)- пространство форм типа (r, s), т. е. форм а, локально представимых в виде [img: http://localhost:8080/file/020529-16.jpg] где (z1,..., zn) - локальная аналитич. система координат на М. Аналогично [img: http://localhost:8080/file/020529-17.jpg] При этом d'=d"=0, так что d' и d" определяют коцепные комплексы. Наиболее известен комплекс оператора d" (комплекс Дольбо), когомологий к-рого обозначаются через Hr,s(M). d" -коциклы типа (р, 0) суть голоморфные р-формы (см. Голоморфная форма). Для d" справедлива, следующая лемма Гротендика: если а- форма типа (r, s)с s>0 в окрестности нуля пространства С" и d"a=0, то в меньшей окрестности нуля существует такая форма b типа (r, s-1), что a=d"b. Комплекс Дольбо можно определить также и для F-значных форм, где F- голоморфное векторное расслоение. Это приводит к пространствам когомологий Hr, s(F). Из леммы Гротендика вытекает следующий изоморфизм: [img: http://localhost:8080/file/020529-18.jpg] где Qr(F)- пучок ростков голоморфных F-значных r-форм (теорема Дольбо). В частности, [img: http://localhost:8080/file/020529-19.jpg] где Qr (М)- пучок ростков голоморфных r-форм на М. Существует спектральная последовательность с первым членом [img: http://localhost:8080/file/020529-20.jpg] сходящаяся к H*(М, С). Эйлерова характеристика Х(М)компактного комплексного многообразия Мвыражается через когомологий Дольбо по формуле [img: http://localhost:8080/file/020529-21.jpg] Д. ф. являются важной составной частью аппарата дифференциальной геометрии (см. [7], [8]). Они систематически используются также в топологии, теории дифференциальных уравнений, механике, теории комплексных многообразий и функций многих комплексных переменных. Обобщением Д. ф., аналогичным обобщенным функциям, являются потоки. Алгебраич. аналог теории Д. ф. (см. Дифференциалов модуль)позволяет определить дифференциальные формы на алгебраических многообразиях и на аналитических пространствах (см. Дифференциальное исчисление на аналитических пространствах). См. также Рама когомологий, Дифференциал на римановой поверхности, Гармоническая форма, Голоморфная форма, Лапласа оператор.