Дифференциальное включение

многозначное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение с многозначной правой часть ю,- соотношение [img: http://localhost:8080/file/020529-68.jpg] где x=x(t)- неизвестная вектор-функция на нек-ром интервале, F(t, x)- множество в n-мерном пространстве, зависящее от числа tи вектора х=(х 1,..., х п). Решением Д. в. (1) обычно называется абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), почти всюду на рассматриваемом интервале изменения tудовлетворяющая соотношению [img: http://localhost:8080/file/020529-69.jpg] В частности, если множество F(t, x)состоит из одной точки, то Д. в. превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение dx/dt=F(t, x). Уравнения вида [img: http://localhost:8080/file/020529-70.jpg] где Dx{t)- контингенция[1], в широком классе случаев равносильны Д. в. К Д. в. приводят, напр., задача о функциях, удовлетворяющих дифференциальному уравнению с заданной точностью [img: http://localhost:8080/file/020529-71.jpg] дифференциальные неравенства [img: http://localhost:8080/file/020529-72.jpg] дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (см. [1], [2]); задачи теории оптимального управления (см. [3], [4]). В задачах управления обычно рассматривается уравнение [img: http://localhost:8080/file/020529-73.jpg] где x=x(t)- искомая вектор-функция, a u=u(t)- управление, т. е. вектор-функция, к-рую можно выбирать произвольно среди всех допустимых управлений (таких, что [img: http://localhost:8080/file/020529-74.jpg] при каждом t, где U- заданное множество, могущее зависеть от tи от x=x(t)). Множество решений уравнения (2) при всевозможных допустимых управлениях u=u(t)удовлетворяет Д. в. (1), где F(t, x)- множество всех значений функции f(t, х, и), когда ипробегает множество U. В теории Д. в. обычно предполагается, что при любых t, х из рассматриваемой области Gмножество F(t, x)есть непустое замкнутое ограниченное множество n-мерного пространства. Если множество F(t, x)всегда выпукло, при каждом tоно является полунепрерывной сверху функцией от х(т. е. для любых t, х и любого е>0 при всех достаточно малых | х'- х| множество F(t, x'). содержится в e-окрестности множества F(t, х)), а при каждом х- измеримой функцией от t (т. е. для любого хи любого шара Вв n-мерном пространстве множество значений t, при к-рых множество [img: http://localhost:8080/file/020529-75.jpg] не пусто, является измеримым по Лебегу), и если F(t, x)всегда содержится в шаре [img: http://localhost:8080/file/020529-76.jpg] где функция m(t)интегрируема по Лебегу, то при любых начальных условиях x(t0) = x0, [img: http://localhost:8080/file/020529-77.jpg] решение Д. в. существует (см. [5]) и интегральная воронка, состоящая из таких решений, обладает обычными свойствами [5]. От требования выпуклости множества F(t, x)можно отказаться, если оно непрерывно зависит от х. При этом существование решения сохраняется [6], а свойства интегральных воронок - нет. Обзор работ по теоремам существования решений для Д. в. и связи Д. в. с задачами управления см. в [7]. Для Д. в. рассматривается понятие устойчивости [8]; изучаются существование ограниченных и периодич. решений и другие свойства Д. в. [9].