Дифференциальные уравнения на торе

потоки на торе,- класс динамических систем. Примером может служить поток, порожденный групповыми сдвигами тора (как Ли группы)на элементы к.-л. однопараметрич. подгруппы тора. В терминах "угловых", или "циклических", координат на торе, отсчитываемых по модулю 1 (их можно рассматривать как обычные координаты в евклидовом пространстве Rn, из к-рого тор Т п получается как факторгруппа по целочисленной решетке Z п), этот поток описывается так: за время tточка х=(х 1,..., х п)переходит в точку [img: http://localhost:8080/file/020536-52.jpg] где w=(w1,..., wn) - набор так наз. базисных частот. Все траектории этого потока являются квазипериодическими функциями времени; их свойства определяются арифметич. свойствами базисных частот. Так, траектории периодичны, если все wi кратны одному и тому же числу. В другом крайнем случае, когда wi линейно независимы над Z (т. е. никакая нетривиальная линейная комбинация [img: http://localhost:8080/file/020536-53.jpg] с целыми ki не равна нулю), каждая траектория всюду плотно заполняет тор (говорят об иррациональной обмотке тора), а поток эргодичен (по отношению к Хаара мере на Т n;. мера Хаара естественным образом получается из меры Лебега в Rn при факторизации по Z п и сохраняется при сдвигах Tt). и даже строго эргодичен; его спектр дискретен. Подобные потоки часто возникают в различных вопросах. Напр., для интегрируемых гамильтоноеых систем"типичные" финитные (т. е. остающиеся в конечной области фазового пространства) движения приводят как раз к ним (соответствующие торы суть многообразия уровня системы первых интегралов, см. [8]). Обычно такие инвариантные торы с иррациональными обмотками имеются также и у гамильтоновых систем, достаточно близких к интегрируемым (этот вопрос тесно связан с малыми знаменателями). Для двумерного тора T2 А. Пуанкаре (Н. Poincare, [1]), А. Данжуа [2] (см. также [3]) и X. Кнезером ([4], модифицированное изложение см. в [5], [6]) полностью выяснены возможные типы качественного поведения траекторий потоков без положений равновесия. (Из всех замкнутых поверхностей только на торе и Клейна поверхности возможны такие потоки, причем изучение потоков на последней в основном сводится к изучению потоков на торе, являющемся ее двулистной накрывающей поверхностью). Об этих потоках известно следующее. Если на поверхности имеется двусвязная область ("кольцо Кнезера",) к-рая ограничена двумя замкнутыми траекториями и внутри к-рой траектории свиваются с одной из них и навиваются на другую в противоположном направлении (см. рис.), то качественное поведение траекторий на поверхности напоминает поведение траекторий в ограниченной области на плоскости. В частности, все непериодич. траектории в обе стороны по времени стремятся к периодическим. Более интересен случай (возможный лишь на торе), когда колец Кнезера нет; это эквивалентно существованию замкнутой трансверсали L(т. е. замкнутой кривой, нигде не касающейся векторного поля), к-рую каждая траектория пересекает бесконечное число раз. На Lопределено отображение исследования S- гомеоморфизм, переводящий точку [img: http://localhost:8080/file/020536-55.jpg] в первую по времени точку пересечения проходящей через хположительной полутраектории с L. Характеристикой каскада {Sn}на Lслужит число вращения Пуанкаре a. (см., например, [3]. Оно отчасти зависит от конкретного выбора L; совершенно инвариантной характеристикой исходного потока является асимптотический цикл [14]). Согласно теореме Данжуа, если S- класса С 2 (что гарантировано при соответствующей гладкости трансверсали и исходного потока на торе) и a. иррационально, то Sтопологически сопряжен с поворотом окружности на угол 2pa, т. е. на Lможно так ввести циклич. координату х, что Sпредставится в виде [img: http://localhost:8080/file/020536-56.jpg] mod 1. (Если S- класса С 1, то это не обязательно так, см. [2].) Тогда разбиение тора на траектории с точностью до гомеоморфизма является таким же, как и в случае (1) (однако это не относится к скорости движения по ним). Гладкость замены координат, гарантируемая теоремой Данжуа, зависит (помимо гладкости S)от арифметических свойств числа вращения а. При почти всех а из [img: http://localhost:8080/file/020536-57.jpg] следует, что замена координат принадлежит классу С n-2 [9], но для чисел вращения, очень быстро приближающихся рациональными числами, замена координат, вообще говоря, не гладкая, даже если преобразование Sаналитическое (см. [7]). [img: http://localhost:8080/file/020536-54.jpg] Если исходный поток на Т 2 имеет интегральный инвариант, то колец Кнезера быть не может, a S(независимо от рациональности или иррациональности а) гладко сопряжено с поворотом окружности; таким образом, при отсутствии положений равновесия на торе существуют циклич. координаты х, у того же класса гладкости, что и сам поток, в к-рых последний принимает вид: [img: http://localhost:8080/file/020536-58.jpg] (здесь a- число вращения, отвечающее замкнутой трансверсали х=const). При достаточной гладкости f и надлежащих свойствах aпоток (2) можно привести к (1) (с n=2 и w=(1, a)) посредством нек-рого диффеоморфизма, в общем же случае это не всегда возможно, и даже эргодические свойства потока (2) могут отличаться от свойств потоков (1) (возможен непрерывный спектр, хотя перемешивание в гладком случае невозможно). См. [10] (опущенные доказательства восстановлены в [11], [12]) и [13].