Дифференцирование отображения

- нахождение дифференциала или, иначе, главной линейной части отображения. Нахождение дифференциала, т. е. аппроксимация отображения в окрестности нек-рой точки линейными отображениями, является важнейшей операцией дифференциального исчисления. Дифференциальное исчисление наиболее разработано в топологич. линейных пространствах. Пусть Xи Y-линейные топологич. пространства. Пусть отображение f определено на открытом множестве V пространства Xи принимает значения в пространстве Y. Если разность f(x0+h)-f(x0), где [img: http://localhost:8080/file/020537-81.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/020537-82.jpg] может быть аппроксимирована линейной относительно приращения hфункцией l х0: X-> Y, то f наз. дифференцируемым отображением в точке х 0. При этом аппроксимирующая линейная функция lx0 наз. производной или дифференциалом отображен и яв точке х 0 и обозначается символом f'(x0)или df(x0). Отображения, имеющие в данной точке одинаковые производные, наз. касательными отображениями друг к другу в этой точке. Значение аппроксимирующей функции на элементе [img: http://localhost:8080/file/020537-83.jpg] (обозначаемое символом f'(x0)hили dhf(x0))наз. дифференциалом отображения f в точке х 0 при приращении h. В зависимости от того, что понимается под аппроксимацией приращения f(x0+h)-f(x0)линейным по hвыражением, приходят к различным понятиям дифференцируемости и производной. Все важнейшие существующие определения см. п [1], [2]. Пусть F-совокупность всех отображений из Xв Yих - нек-рая топология или псевдотопология в F. Отображение [img: http://localhost:8080/file/020537-84.jpg] является малым в нуле, если кривая [img: http://localhost:8080/file/020537-85.jpg] понимаемая как отображение [img: http://localhost:8080/file/020537-86.jpg] прямой [img: http://localhost:8080/file/020537-87.jpg] в F, непрерывна в нуле в псевдотопологии т. Далее, отображение [img: http://localhost:8080/file/020537-88.jpg] дифференцируемо в точке х 0, если существует такое линейное (непрерывное) отображение lx0, что отображение [img: http://localhost:8080/file/020537-89.jpg] является малым в нуле. В зависимости от выбора т в Fполучаются различные определения производных. Напр., в случае, если в качестве топологии т выбирается топология поточечной сходимости, получается дифференцируемость по Гато (см. Гато производная). В случае, если Xи У - банаховы пространства, а топология в Fесть топология равномерной сходимости на ограниченных множествах в X, приходят к дифференцируемости по Фреше (см. Фреше производная). Если X=Rn,a Y=Rm, то производная f'(x0)дифференцируемого отображения f(x)=(f1(x),...,fm(x)), где x=(х 1,..., х п), задается Якоби матрицей ||дfi(x0)/dxj|| и является непрерывным линейным отображением из Rn в Rm. Производные отображений обладают многими свойствами производных функций одного переменного. Напр., для них в самых широких предположениях имеет место свойство линейности: [img: http://localhost:8080/file/020537-90.jpg] во многих случаях для них верна формула [img: http://localhost:8080/file/020537-91.jpg] дифференцирования сложной функции; для отображений в локально выпуклые пространства справедливо обобщение теоремы Лагранжа о среднем значении. Понятие дифференцируемого отображения распространяется на случай, когда X и Y- гладкие дифференцируемые многообразия, как конечномерные, так и бесконечномерные [4], [5], [6]. Дифференцируемые отображения бесконечномерных пространств и их производные были определены впервые В. Вольтерра (V. Volterra, 1887), М. Фреше (М. Frechet, 1911), Р. Гато (R. Gateau, 1913). Подробнее об истории развития понятия производной в многомерных пространствах см. [2].