Дифференцирование по сети

- специальное понятие дифференцирования функций множеств y(E). Сеть N- совокупность разбиений [img: http://localhost:8080/file/020537-92.jpg] основного пространства Xс мерой m, при этом [img: http://localhost:8080/file/020537-93.jpg] и для каждого [img: http://localhost:8080/file/020537-94.jpg] найдется содержащее его множество [img: http://localhost:8080/file/020537-95.jpg] Всеизмеримы [img: http://localhost:8080/file/020537-96.jpg] и их совокупность в определенном смысле (см. [1]) аппроксимирует все измеримые множества. Множества А ij при фиксированном iназ. множествами i-го ранга. Для каждой точки х 0 и любого пимеется одно и только одно множество А п(x0) n-го ранга, содержащее точку х 0. Производной функции y(Е)по данной сети N в точке х 0 наз. выражение [img: http://localhost:8080/file/020537-97.jpg] если этот предел существует. Можно также определить понятие производных чисел по сети N. Простейшим примером Д. по с. служит дифференцирование приращения функции одного действительного переменного по двоично-рациональным интервалам вида [img: http://localhost:8080/file/020537-98.jpg] Производная по сети для каждой счетно аддитивной функции y(E)существует почти всюду и совпадает с плотностью абсолютно непрерывной составляющей функции y(E). В n-мерном пространстве обычно рассматривается Д. по с. полуоткрытых сегментов, диаметр к-рых стремится к нулю с ростом ранга (см. [2]). Понятие сети и дифференцирования по ней может быть обобщено на случай абстрактных пространств без меры (см. [3]).