Дифференцирование численное

- нахождение производной функции численными методами. Д. ч. используется в случаях, когда методы дифференциального исчисления неприменимы (функция задана таблично), или их применение вызывает значительные трудности (функция имеет сложное аналитическое выражение). Пусть на отрезке [ а, b]определена функция и=и (х)и заданы узловые точки х;, a=x1<x2<...<xn=b. Совокупность точек (х i, и i=и(х i)), i=l,..., п, наз. таблицей. Результатом Д. ч. таблицы является функция [img: http://localhost:8080/file/020537-99.jpg] в каком-либо смысле приближающая k-ю производную [img: http://localhost:8080/file/020537-100.jpg] функции на нек-ром множестве [img: http://localhost:8080/file/020537-101.jpg] точек х. Применение Д. ч. целесообразно, когда получение функции [img: http://localhost:8080/file/020537-102.jpg] для каждого [img: http://localhost:8080/file/020537-103.jpg] требует незначительной затраты вычислительных средств. Обычно используются линейные методы Д. ч., где результат Д. ч. записывается в виде [img: http://localhost:8080/file/020537-104.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020537-105.jpg] - функции, определенные на [img: http://localhost:8080/file/020537-106.jpg] Наиболее распространенный метод получения формул (1) состоит в следующем: строят функцию [img: http://localhost:8080/file/020537-107.jpg] интерполирующую и(х), и полагают [img: http://localhost:8080/file/020537-108.jpg] Точность алгоритмов, основанных на интерполяционных формулах Лагранжа, Ньютона и др., существенным образом определяется выбором способа интерполяции и может быть иногда весьма низкой даже для достаточно гладких функций и=и (х)и при большом числе узловых точек (см. [1]). От этого недостатка часто свободны алгоритмы Д. ч., использующие сплайн-интерполяцию (см. [2]). Если требуется вычисление приближенных значений производной только в узловых точках х i, то формула (1) принимает вид [img: http://localhost:8080/file/020537-109.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/020537-110.jpg] полностью определяется заданием для данного kматрицы коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/020537-111.jpg] Формулы типа (2) наз. разностными формулами Д. ч. Коэффициенты akij этих формул определяют из условия наивысшего порядка малости по [img: http://localhost:8080/file/020537-112.jpg] разности [img: http://localhost:8080/file/020537-113.jpg] Формулы (2), как правило, весьма просты и удобны на практике. Напр., при h=hn=(x2-x1)=(x3 -х 2)=... =(х п- х п-1) они имеют вид: [img: http://localhost:8080/file/020537-114.jpg] Алгоритмы Д. ч. часто применяются к таким таблицам, в к-рых значения и(х i)заданы (или получены) неточно. В этом случае требуется их предварительное сглаживание, так как непосредственное применение Д. ч. может привести к большим погрешностям в результатах (см. [3]).