Дифференцируемый вектор

в пространстве Vпредставления Тгруппы Ли G- вектор [img: http://localhost:8080/file/020538-55.jpg] для к-рого отображение [img: http://localhost:8080/file/020538-56.jpg] является бесконечно дифференцируемой (класса С 00) вектор-функцией на Gсо значениями в V. Для дифференцируемости вектор-функции f: [img: http://localhost:8080/file/020538-57.jpg] необходимо (а в случае локально выпуклого квазиполного пространства Vи достаточно), чтобы были дифференцируемы все скалярные функции вида [img: http://localhost:8080/file/020538-58.jpg] где F- линейный непрерывный функционал на V(см. [1]). Теорема Гельфанда - Гординга: если Т- непрерывное представление группы Ли Gв банаховом пространстве V, то множество [img: http://localhost:8080/file/020538-59.jpg] дифференцируемых векторов плотно в V. Для однопараметрич. групп эта теорема доказана в [2], на общий случай доказательство перенесено в [3]. Обобщение этого результата на широкий класс представлений в локально выпуклых пространствах получено в [4], см. также [5]. Наличие дифференцируемых векторов в пространстве представления группы Ли позволяет построить представление соответствующей алгебры Ли и тем самым связать теорию представлений групп Ли с теорией представлений алгебр Ли (см. [6] § 10).