Дробная степень

линейного оператора Ав комплексном банаховом пространстве Е- функция f{A)от этого оператора такая, что f(z)=za. Если оператор Аограничен, и спектр его не содержит и не окружает нуля, то А a определяется Коши интегралом по контуру, окружающему спектр A и не содержащему внутри себя нуль. Если Анеограничен, то контур приходится брать бесконечным, и возникают вопросы об условиях сходимости интеграла. Если Аимеет плотную в Еобласть определения D(А)и при l<0 имеет резольвенту [img: http://localhost:8080/file/020540-120.jpg] с оценкой [img: http://localhost:8080/file/020540-121.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/020540-122.jpg] где Г состоит из сторон угла, строящегося по М. Операторы А -a ограничены и [img: http://localhost:8080/file/020540-123.jpg] при любом [img: http://localhost:8080/file/020540-124.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/020540-125.jpg] Положительные степени определяются так: А a =(А -a)-1;они уже являются неограниченными. При любых действительных a и b выполнено основное свойство степеней [img: http://localhost:8080/file/020540-126.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/020540-127.jpg] и g=mах{a, b, a+b}. При 0<a<1 (А a)b=Аab. При любых a<b<g и [img: http://localhost:8080/file/020540-128.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020540-129.jpg] (неравенство моментов). Полугруппа степеней А -a допускает расширение до полугруппы A-z, аналитической в правой полуплоскости. Ряд приведенных свойств Д. с. обобщается на случай, когда Ане имеет ограниченного обратного и справедлива оценка [img: http://localhost:8080/file/020540-130.jpg] s>0. При условии (1) и при 0<а<1 [img: http://localhost:8080/file/020540-131.jpg] Если оператор В- производящий оператор сжимающей полугруппы U(t), то [img: http://localhost:8080/file/020540-132.jpg] Из условия (1) не вытекает, что -А является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы, но оператор - А a. при [img: http://localhost:8080/file/020540-133.jpg] является производящим оператором аналитич. олугруппы. Оператор Вподчинен оператору А, если [img: http://localhost:8080/file/020540-134.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/020540-135.jpg] Если Вподчинен Аи резольвенты обоих операторов обладают свойством (1), то В a. подчинен А b. при [img: http://localhost:8080/file/020540-136.jpg] Если А- положительный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве, то его Д. с. определяется через спектральное разложение [img: http://localhost:8080/file/020540-137.jpg] В неравенстве моментов для такого оператора константа с(a, b, g)=1. Пусть Аи В- два самосопряженных положительных оператора, действующие в гильбертовых пространствах Ни Н 1 соответственно. Если Т- такой ограниченный линейный оператор из Нв Н 1 с нормой М, что [img: http://localhost:8080/file/020540-138.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/020540-139.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020540-140.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/020540-141.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/020540-142.jpg] (неравенство Хайнца). В частности, при H=H1 и Т=I из подчиненности Воператору Аследует подчиненность В a оператору А a при [img: http://localhost:8080/file/020540-143.jpg] Д. с. операторов применяются при исследовании нелинейных уравнений. Они детально изучены для операторов, порожденных эллиптич. праевыми задачами.