Дюамеля интеграл

- представление решения Коши задачи или смешанной задачи с однородными граничными условиями для неоднородного линейного уравнения с частными производными через решение соответствующей задачи для однородного уравнения. Пусть для уравнения [img: http://localhost:8080/file/020541-118.jpg] где L- линейный дифференциальный оператор с независящими от tкоэффициентами, содержащий производные по tне выше 1-го порядка, поставлена задача Коши с начальными условиями: [img: http://localhost:8080/file/020541-119.jpg] И пусть достаточно гладкая функция v(t, х;t), [img: http://localhost:8080/file/020541-120.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020541-121.jpg] является при t>t решением однородного уравнения [img: http://localhost:8080/file/020541-122.jpg] удовлетворяющим при t=tначальным условиям: [img: http://localhost:8080/file/020541-123.jpg] Тогда решение задачи Коши (1), (2) выражается Д. и.: [img: http://localhost:8080/file/020541-124.jpg] Сформулированное утверждение носит название принципа Дюамеляи является аналогом метода вариации постоянных. Аналогичное построение можно провести и в случае задачи Коши с однородным начальным условием для уравнения [img: http://localhost:8080/file/020541-125.jpg] где М- линейный дифференциальный оператор с независящими от tкоэффициентами, содержащий производные только по переменным х. Решение задачи Коши с однородными начальными условиями для неоднородного уравнения теплопроводности выражается Д. и. [img: http://localhost:8080/file/020541-126.jpg] а для волнового уравнения в случае n=1 [img: http://localhost:8080/file/020541-127.jpg] Д. и. наз. по имени Ж. Дюамеля (J. Duhamel).