Зависящий от параметров интеграл

- интеграл вида [img: http://localhost:8080/file/020901-1.jpg] в к-ром точка х=(x1, х 2,..., х п)пробегает пространство Rn (в случае, если эта точка пробегает только нек-рую область Dв пространстве Rn, то функцию f(x, у)можно считать равной нулю при [img: http://localhost:8080/file/020901-2.jpg] а точка у=(y1, у 2,..., у т), образующая совокупность параметров у 1, у 2,..., у т, изменяется в пределах нек-рой области Gпространства Rm. Основные вопросы теории таких интегралов - это выяснение условий непрерывности и дифференцируемости функции J(y)по параметрам у 1, у 2,..., у m.Менее стеснительные условия непрерывности и дифференцируемости J(у)получают при понимании интеграла в смысле Лебега. Справедливы следующие утверждения. 1) Если функция f(x, у)для почти всех [img: http://localhost:8080/file/020901-3.jpg] непрерывна по ув области [img: http://localhost:8080/file/020901-4.jpg] и если существует интегрируемая в Rn функция g(x)такая, что для каждого [img: http://localhost:8080/file/020901-5.jpg] и для почти всех [img: http://localhost:8080/file/020901-6.jpg] справедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/020901-7.jpg] то интеграл J(y)является непрерывной функцией ув области G. 2) Если функция f(x, t), определенная при [img: http://localhost:8080/file/020901-8.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020901-9.jpg] для почти всех [img: http://localhost:8080/file/020901-10.jpg] и каждого [img: http://localhost:8080/file/020901-11.jpg] имеет производную [img: http://localhost:8080/file/020901-12.jpg] к-рая для почти каждого [img: http://localhost:8080/file/020901-13.jpg] является непрерывной функцией tна интервале (а, 6), и если существует интегрируемая в Rn функция g(x)такая, что для каждого [img: http://localhost:8080/file/020901-14.jpg] и для почти всех [img: http://localhost:8080/file/020901-15.jpg] справедливо неравенство [img: http://localhost:8080/file/020901-16.jpg] то из существования при нек-ром [img: http://localhost:8080/file/020901-17.jpg] интеграла [img: http://localhost:8080/file/020901-18.jpg] следует дифференцйруемость по tна интервале (а, b)функции [img: http://localhost:8080/file/020901-19.jpg] и возможность вычисления производной J'(t)дифференцированием под знаком интеграла: [img: http://localhost:8080/file/020901-20.jpg] Из 1)- 2) получают ряд более простых утверждений о непрерывности и дифференцируемости интегралов по параметрам, относящихся к трактовке интеграла в смысле Римана и более частным случаям (см. [2] - [4]). Несобственные интегралы, зависящие от параметров. Для простейшего несобственного интеграла 1-го рода [img: http://localhost:8080/file/020901-21.jpg] вводят понятие равномерной сходимости по параметру tна нек-ром сегменте [img: http://localhost:8080/file/020901-22.jpg] Этот интеграл наз. равномерно сходящимся по tна сегменте [ с, d], если для любого e>0 найдется A(e)>0 такое, что [img: http://localhost:8080/file/020901-23.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/020901-24.jpg] Справедливы следующие утверждения: а)Если функция f(x, t)непрерывна в полуполосе [img: http://localhost:8080/file/020901-25.jpg] и интеграл (*) сходится равномерно по tна сегменте [ с, d], то функция J(t)непрерывна на сегменте [img: http://localhost:8080/file/020901-26.jpg] б) Если f(x, t)и производная [img: http://localhost:8080/file/020901-27.jpg] непрерывны в полуполосе [img: http://localhost:8080/file/020901-28.jpg] интеграл (1) сходится для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/020901-29.jpg] а интеграл [img: http://localhost:8080/file/020901-30.jpg] сходится равномерно относительно t на сегменте [ с, d], то функция J(t)дифференцируема на сегменте [ с, d]и ее производная может быть найдена по формуле [img: http://localhost:8080/file/020901-31.jpg] Аналогичные утверждения справедливы и для несобственного интеграла 2-го рода.