Замкнутый оператор

- оператор А: [img: http://localhost:8080/file/020901-97.jpg] такой, что из [img: http://localhost:8080/file/020901-98.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020901-99.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/020901-100.jpg] следует [img: http://localhost:8080/file/020901-101.jpg] и Ах=у (здесь X, Y- банаховы пространства над одним и тем же полем скаляров и [img: http://localhost:8080/file/020901-102.jpg] - область определения оператора А). Понятие 3. о. распространяется и на операторы, действующие в отделимых линейных топологич. пространствах, только вместо последовательностей {х п} надо рассматривать произвольные направления (сети) {хx }. Если GrA- график оператора А, то Азамкнут тогда и только тогда, когда GrA есть замкнутое подмножество декартова произведения X [img: http://localhost:8080/file/020901-103.jpg] Y. Это свойство часто принимается за определение 3.о. Понятие 3. о. есть обобщение понятия оператора, определенного и непрерывного на замкнутом подмножестве банахова пространства. Примером замкнутого, но не непрерывного оператора является оператор [img: http://localhost:8080/file/020901-104.jpg] определенный на множестве С 1[ а, b]непрерывно дифференцируемых функций пространства С[ а, b]. Замкнутыми, но не непрерывными являются многие операторы математич. физики. Оператор Адопускает замыкание (т. е.- замыкаем), если существует замкнутое расширение этого оператора. Для того чтобы оператор был замыкаем, необходимо и достаточно, чтобы из [img: http://localhost:8080/file/020901-105.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020901-106.jpg] следовало у=у'. Наименьшее замкнутое расширение оператора паз. его замыканием. Симметрический оператор в гильбертовом пространстве с плотной областью определения всегда допускает замыкание. Линейный ограниченный оператор А: [img: http://localhost:8080/file/020901-107.jpg] замкнут. Обратно, если Аопределен на всем Xи замкнут, то он ограничен. Если Азамкнут и А -1 существует, то А -1 также замкнут. Так как А: [img: http://localhost:8080/file/020901-108.jpg] замкнут тогда и только тогда, когда А-lI замкнут, то Азамкнут, если резольвента Rl (А)=(А-lI)-1 существует и ограничена хотя бы для одного значения параметра lОС. Если Dвсюду плотно в Xи, следовательно, однозначно определен сопряженный оператор А *: [img: http://localhost:8080/file/020901-109.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020901-110.jpg] то А*- З. о. Если, кроме того, Da* = Y и X, Y рефлексивны, то А- замыкаемый оператор и А * * является замыканием А. 3. о. Ас помощью введения новой нормы в области его определения можно сделать ограниченным. Пусть [img: http://localhost:8080/file/020901-111.jpg] Тогда DA с новой нормой будет банаховым пространством и А, как оператор из (D А|| Х ||0) в У, будет ограниченным.