Зариского теорема

о связности: пусть f: [img: http://localhost:8080/file/020902-85.jpg] - собственный сюръективный морфизм неприводимых многообразий и пусть поле рациональных функций k(Y)сепарабельно алгебраически замкнуто в k(Х), а [img: http://localhost:8080/file/020902-86.jpg] -нормальная точка, тогда f-1(y)связно (и более того, геометрически связно) (см. [2]). Эта теорема обосновывает классический 1 принцип вырождения: если общий цикл алгебраич. системы циклов является многообразием (т. е. геометрически неприводим), то любая специализация этого цикла связна. Частным случаем 3. т. о связности является так наз. основная теорема Зариского, или теорема Зариского о бирациональных соответствиях: бирациональный морфизм алгебраич. многообразий /: [img: http://localhost:8080/file/020902-87.jpg] является открытым вложением в окрестности нормальной точки [img: http://localhost:8080/file/020902-88.jpg] если f -1(y)- конечное множество (см. [1]). В частности, бирациональный морфизм нормальных многообразий, биективный на точках, является изоморфизмом. Другая формулировка этой теоремы: пусть f: [img: http://localhost:8080/file/020902-89.jpg] - квазиконечный отделимый морфизм схем, а У - квазикомпактная квазиотделимая схема, тогда существует разложение f= uog, где и- конечный морфизм, a g- открытое вложение [3].