Зейделя метод

- итерационный метод решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b. Решение системы х* находится как предел последовательности [img: http://localhost:8080/file/020903-31.jpg] вычисляемой по правилу [img: http://localhost:8080/file/020903-32.jpg] i=l, 2,..., п, где aij- элементы матрицы А, bi - компоненты вектора b;диагональные элементы матрицы Апредполагаются отличными от нуля. Вычисления (*) отличаются от простой итерации метода лишь тем, что на k-м шаге при вычислении i-й компоненты учитываются вычисленные k-в приближения первых (i-1) компонент. В матричной записи 3. м. представляется следующим образом. Если А=В+С, где [img: http://localhost:8080/file/020903-33.jpg] то соотношение (*) соответствует матричному соотношению x(k)=- В -1 Сх(k-1)+В -1b. З. м. равносилен методу простой итерации, примененному к системе x=-B-1Cx+B-1b, эквивалентной исходной. Для сходимости 3. м. необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы В -1 С по модулю были меньше 1. Иначе, чтобы все корни уравнения det(C+Вl)=0 были по модулю меньше 1. На практике более удобны следующие достаточные условия сходимости 3. м. 1) Пусть при всех i, [img: http://localhost:8080/file/020903-34.jpg] [img: http://localhost:8080/file/020903-35.jpg] д<1. Тогда 3. м. сходится и для скорости сходимости имеет место оценка: [img: http://localhost:8080/file/020903-36.jpg] 2) Пусть А- эрмитова положительно определенная матрица. Тогда 3. м. сходится. З. м. относится к классу релаксации методов, наиболее употребительным из к-рых является сверхрелаксации метод. Известны модификации 3. м., использующие предварительное преобразование исходной системы в эквивалентную ей систему x=Mx+f (см. [4]). Метод предложен Л. Зейделем в [1].