Зейферта матрица

- матрица, сопоставляемая узлам и зацеплениям для алгебраич. изучения их топологич. свойств. Названа в честь Г. Зейферта [1], применившего эту конструкцию для получения алгебраич. инвариантов одномерных узлов в S3. Пусть L=(Sn+2, ln)есть n-мерное m-компонентное зацепление, т. е. пара, состоящая из ориентированной сферы Sn+2 и ее дифференцируемого или кусочно линейного ориентированного подмногообразия ln, гомеоморфного несвязной сумме тэкземпляров сферы Sn. Существует компактное (n+1)-мерное ориентируемое подмногообразие Vсферы Sn+2 такое, что дV=l, оно наз. многообразием Зейферта зацепления L. Ориентация многообразия Зейферта Vопределяется ориентацией его края dV=l, и, поскольку ориентация сферы Sn + 2 фиксирована, нормальное расслоение к Vв Sn + 2 оказывается ориентированным, так что можно говорить о поле положительных нормалей к V. Пусть [img: http://localhost:8080/file/020903-37.jpg] малый сдвиг вдоль этого поля, где Y- дополнение открытой трубчатой окрестности Vв Sn+2. Если n=2q-1 - нечетное число, то определено спаривание [img: http://localhost:8080/file/020903-38.jpg] к-рое сопоставляет элементу [img: http://localhost:8080/file/020903-39.jpg] коэффициент зацепления класса [img: http://localhost:8080/file/020903-40.jpg] и класса [img: http://localhost:8080/file/020903-41.jpg] Спаривание 0 наз. спариванием Зейферта зацепления L. Если z1 или z2 имеет конечный порядок, то [img: http://localhost:8080/file/020903-42.jpg] Имеет место формула [img: http://localhost:8080/file/020903-43.jpg] где справа - индекс пересечения классов z1 и z2 на V. Пусть е 1,..., е k- базис свободной части группы HqV. Целочисленная (k [img: http://localhost:8080/file/020903-44.jpg] k)-матрица [img: http://localhost:8080/file/020903-45.jpg] наз. матрицей Зейферта зацепления L. 3. м. всякого (2q-1)-мерного узла обладает следующим свойством: матрица А+(-1)q А' унимодулярна, а если q=2, то сигнатура матрицы А+А', делится на 16 (А' -матрица, транспонированная к А). Всякая целочисленная квадратная матрица Аявляется 3. м. нек-рого (2q-1)-мерного узла, если [img: http://localhost:8080/file/020903-46.jpg] и матрица А+(-1)qA' унимодулярна. Аама по себе 3. м. не является инвариантом зацепления L;это связано с неоднозначностью построения многообразия Зейферта Vи выбора базиса el,..., е k. Матрицы вида [img: http://localhost:8080/file/020903-47.jpg] где a.- вектор-строка, а b - вектор-столбец, наз. элементарными расширениями квадратной матрицы А, а матрица Аназ. элементарной редукцией своих элементарных расширений. Две квадратные матрицы наз. S-э квивалентными, если одну можно получить из другой последовательностью элементарных редукций, элементарных расширений и унимодулярных конгруэнции (т. е. преобразований вида [img: http://localhost:8080/file/020903-48.jpg] где Р- унимодулярная матрица). Для многомерных узлов (m=1) и для одномерных зацеплений (n=1) класс S-эквивалентности 3. м. является инвариантом типа зацепления L. В случае, когда L - узел, 3. м. Аполностью определяет Z[t, t-1]-модуль [img: http://localhost:8080/file/020903-49.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/020903-50.jpg] -бесконечное циклическое накрывающее дополнения узла. Полиноминальная матрица tA+(-1)q А' является матрицей Александера (см. Александера инварианты)модуля [img: http://localhost:8080/file/020903-51.jpg] 3. м. определяет также q-мерные гомологии и коэффициенты зацепления в циклич. накрытиях сферы S2q+1, разветвленных над зацеплением.