Зигеля область

- неограниченная область в (гс+т)-мерном комплексном аффинном пространстве имеющая вид [img: http://localhost:8080/file/020903-76.jpg] где V- открытый выпуклый конус в пространстве Rn,a F:CmXCm->Cn- отображение, являющееся V- эрмитовой формой, а именно, Fлинейно по первому аргументу, [img: http://localhost:8080/file/020903-77.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/020903-78.jpg] - замыкание V), F(w, w') = 0 только при w=0. В случае, когда т=0 (и, стало быть, F=0)область D(V, F)наз. 3. о. первого рода и обозначается просто D(V);в случае, когда [img: http://localhost:8080/file/020903-79.jpg] область D(V, F)наз. 3. о. второго рода. Простейшим примером 3. о. (первого рода) является верхняя полуплоскость одного, комплексного переменного. В работе К. Зигеля [1] в связи с исследованием абелевых многообразий была рассмотрена область Н р в пространстве комплексных симметричных матриц порядка р, образованная матрицами, мнимая часть к-рых положительно определена. Эта область, наз. теперь верхней полуплоскостью Зигеля (и при р=1 совпадающая с обычной верхней полуплоскостью), является 3. о. первого рода, ассоциированной с конусом положительно определенных симметричных матриц порядка р. Общее понятие 3. о. возникло в связи с изучением автоморфных функций многих комплексных переменных (см. [5]). Впоследствии это понятие стало центральным в теории однородных ограниченных областей. Всякая 3. о. аналитически изоморфна ограниченной области. Напр., при n=1 3. о. изоморфна комплексному шару [img: http://localhost:8080/file/020903-80.jpg] Всякая однородная ограниченная область изоморфна 3. о., однородной относительно аффинных преобразований. Две 3. о. аналитически изоморфны тогда и только тогда, когда они переводятся одна в другую аффинным преобразованием (см. [3]).