Идемпотентов полугруппа

идемпотентная полугруппа, - полугруппа, каждый элемент к-рой есть идемпотент. И. п. наз. также связкой (это согласуется с понятием связки полугрупп:И. п. есть связка одноэлементных полугрупп). Коммутативная И. п. наз. полуструктурой, или полурешеткой; этот термин согласуется с его употреблением в теории частично упорядоченных множеств: если коммутативную И. п. Sрассмотреть относительно естественного частичного порядка, то ab будет наибольшей нижней гранью элементов [img: http://localhost:8080/file/021002-103.jpg] Всякая полурешетка есть подпрямое произведение двухэлементных полурешеток. Полугруппа Sназ. сингулярной, если Sудовлетворяет одному из тождеств ху=х, ху=у, в первом случае Sназ. левосингулярной, или полугруппой левых нулей, во втором - правосингулярной, или полугруппой правых нулей. Полугруппа наз. прямоугольной, если она удовлетворяет тождеству хух=х (этот термин используется иногда и в более широком смысле, см. [1]). [img: http://localhost:8080/file/021002-105.jpg] Следующие условия для полугруппы S эквивалентны: 1) S прямоугольна, 2) Sесть идеально простая И. п. (см. Про стая полугруппа), 3) Sесть вполне простая полугруппа идемпотентов, 4) S изоморфна прямому произведению L [img: http://localhost:8080/file/021002-104.jpg] R, где L- левосингулярная, а R- правосингулярная полугруппы. Всякая И. п. является клиффордовой полугруппой и разлагается в полурешетку (см. Связка полугрупп)прямоугольных полугрупп. Это разложение служит исходным пунктом при изучении многих свойств И. п. Любая И. п. локально конечна. И. п. изучались с разных точек зрения, в том числе с точки зрения теории многообразий. Решетка всех подмногообразий многообразия B всех И. п. полностью описана в [4] - [6]; она счетна и дистрибутивна, каждое подмногообразие ее может быть задано внутри [img: http://localhost:8080/file/021002-106.jpg] одним тождеством. Диаграмму этой решетки см. на рис.; там же указаны тождества, задающие в [img: http://localhost:8080/file/021002-107.jpg] многообразия из нескольких нижних "этажей".