Иенсена неравенство

в простейшей дискретной форме: [img: http://localhost:8080/file/021003-5.jpg] где f(x)- выпуклая (см. Выпуклая функция)на нек-ром множестве Сфункция, [img: http://localhost:8080/file/021003-6.jpg] i=1, 2,..., n, [img: http://localhost:8080/file/021003-7.jpg] Равенство достигается тогда и только тогда, когда либо х 1=x2=... = xn, либо f(x).- линейная функция. И н те тральное И. н. для выпуклой функции f(x): [img: http://localhost:8080/file/021003-8.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021003-9.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/021003-10.jpg] [img: http://localhost:8080/file/021003-11.jpg] " Равенство достигается тогда и только тогда, когда либо x(t)=const на D, либо f(x)линейна на x(D). Если f(x)- вогнутая функция, знаки неравенств (1) и (2) меняются на противоположные. Неравенство (1) установлено О. Гёльдером[1], неравенство (2)- И. Иенсеном [2]. При соответствующем подборе выпуклой функции f(x)и весов li или весовой функции l(t). неравенства (1) и (2) переходят в конкретные неравенства, среди которых большинство классич. неравенств. Например, если в (1) положить f(x)=-ln x, x>0, то получается неравенство между взвешенными средним арифметическим и средним геометрическим: [img: http://localhost:8080/file/021003-12.jpg] при l1=l2 =... =ln= 1/n неравенство (3) принимает вид [img: http://localhost:8080/file/021003-13.jpg]