Иенсена формула

- соотношение, связывающее значения мероморфной функции внутри круга с ее граничными значениями на окружности и с ее нулями и полюсами. Пусть f(z)- мероморфная функция в круге [img: http://localhost:8080/file/021003-14.jpg] am, [img: http://localhost:8080/file/021003-15.jpg] и bv, [img: http://localhost:8080/file/021003-16.jpg] -соответственно все нули и полюсы f(z), причем каждый нуль или полюс считается столько раз, какова его кратность или порядок. Если [img: http://localhost:8080/file/021003-17.jpg] то справедлива И. ф.: [img: http://localhost:8080/file/021003-18.jpg] в к-рой суммы распространены на все нули и полюсы f(z)внутри круга |z|<R; формула (1) получена И. Иенсеном [1]. Небольшое видоизменение позволяет приспособить формулу (1) и для случая f(0) = 0. Справедлива и более общая формула, названная Р. Неванлинной формулой Пуассона - Иенсена и дающая значения ln |f(z)| в любой точке z=reiq, отличной от нулей и полюсов: [img: http://localhost:8080/file/021003-19.jpg] Формулу (2) можно рассматривать как обобщение Пуассона интеграла для круга. Точно так же, обобщая Шварца интеграл для круга, получают формулу Шварца - Иенсена: [img: http://localhost:8080/file/021003-20.jpg] Возможно также построение формул типа (1) - (3) для полуплоскости и других областей. Формулы (1) - (3) играют важную роль в распределения значений теории. Широкое обобщение формул (1) - (3) получено М. М. Джрбашяном в его теории классов мероморфных функций (см. [3]). Ему удалось получить целое семейство таких формул, зависящее от нек-рого непрерывного параметра a, [img: http://localhost:8080/file/021003-21.jpg]. связанного с интегродифференциальным оператором Da, причем, напр., формула (3) оказывается частным случаем при a=0. Формулы (1) и (2) обобщаются для субгармонич. функций (см. [4]) и(х)в шаре [img: http://localhost:8080/file/021003-22.jpg] евклидова пространства Rn, [img: http://localhost:8080/file/021003-23.jpg] следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/021003-24.jpg] где s(R).- площадь сферы |y| = R в Rn, G(x, у) - Грина функция для шара |y|<R с полюсом в точке х,m - положительная мера, ассоциированная с субгармонич. функцией и(х). Первое слагаемое в формуле (4) - наименьшая гармоническая мажоранта функции и(х)в шаре [img: http://localhost:8080/file/021003-25.jpg] выраженная в виде интеграла Пуассона от граничных значений; второе слагаемое - потенциал Грина, в частных случаях вырождающийся в логарифмы модуля Бляшке произведений, фигурирующие в формуле (2), Формула (2) получается из (4) с учетом того, что ln |f(z)| для мероморфной функции f(z)есть разнoсть двух субгармонических функций; для функций последнего типа формула (4) также применима. Пусть теперь f(z) - голоморфная функция многих комплексных переменных z= (z1,..., zn), [img: http://localhost:8080/file/021003-26.jpg] в замкнутом поликруге [img: http://localhost:8080/file/021003-27.jpg] Большое значение имеет также легко выводимое из свойств плюрисубгармонических функций неравенство Иенсена, в случае n=1 непосредственно вытекающее из формулы (2): [img: http://localhost:8080/file/021003-28.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/021003-29.jpg] - ядро Пуассона для поликруга Un, mn(j)- нормированная мера Хаара на остове [img: http://localhost:8080/file/021003-30.jpg] (см. [5], [6]). Неравенство (5) и нек-рые многомерные аналоги формулы (2) находят применения в современной многомерной теории распределения значений (см. [7]).