Измеримая функция

- 1) В первоначальном понимании И. ф.- функция f(x)действительного переменного, обладающая тем свойством, что для любого амножество Е а точек х, для к-рых f(x)<a есть измеримое множество (по Лебегу). И. ф. на отрезке [ х 1, х 2]может быть сделана непрерывной на [x1, x2]путем изменения ее значений на множестве сколь угодно малой меры; это - так наз. С-свойство И. ф. (Н. Н. Лузин, 1913). 2) И. ф. на пространстве Xопределяется относительно выбранной системы измеримых множеств Ав X. Если A есть s-кольцо, то действительная функция f, заданная на пространстве X, наз. измеримой функцией, если [img: http://localhost:8080/file/021003-67.jpg] для любого действительного а, где [img: http://localhost:8080/file/021003-68.jpg] Это определение равносильно следующему: действительная j функция f измерима, если [img: http://localhost:8080/file/021003-69.jpg] для любого борелевского В. В случае, когда Аесть s-алгебра, функция f является измеримой, если измеримы множества Е а (или [img: http://localhost:8080/file/021003-70.jpg]). Класс И. ф. замкнут относительно арифметических и структурных операций, т. е., если fn, n=1, 2,... измеримы, то f1+f2, f1f1. max(f1, f2), min(f1, f2), af, где адействительно, измеримы; [img: http://localhost:8080/file/021003-71.jpg] тоже измеримы. Комплексная функция измерима, если измеримы ее действительная и мнимая части. Обобщением понятия И. ф. является понятие измеримого отображения одного измеримого пространства в другое.