Изогения

- эпиморфизм групповых схем с конечным ядром. Морфизм групповых схем f: [img: http://localhost:8080/file/021004-52.jpg] над базисной схемой S наз. изогенией, если f сюръективен и его ядро Кег(f) есть плоская конечная групповая S-схема. В дальнейшем предполагается, что S есть спектр поля кхарактеристики [img: http://localhost:8080/file/021004-53.jpg] Пусть Gгрупповая схема конечного типа над kи Нее конечная групповая подсхема. Тогда фактор G|H существует, а естественное отображение [img: http://localhost:8080/file/021004-54.jpg] является И. Обратно, если f: [img: http://localhost:8080/file/021004-55.jpg] - И. групповых схем конечного типа и H=Кеr(f), то G' = G|H. Для любой И. f: [img: http://localhost:8080/file/021004-56.jpg] связных коммутативных групповых схем конечного типа существует И. g: [img: http://localhost:8080/file/021004-57.jpg] такая, что композиция gof совпадает с гомоморфизмом п G умножения на пгрупповой схемы G. Композиция И. является И. Две групповые схемы Gи G' наз. изогенными, если существует И. f: [img: http://localhost:8080/file/021004-58.jpg] Изогения f: [img: http://localhost:8080/file/021004-59.jpg] наз. сепарабельной, если Кег(f) является этальной групповой схемой над к. Последнее эквивалентно тому, что fесть конечное этальное накрытие. Примером сепарабельной И. служит гомоморфизм п G, где (п, р)=1. Если к- конечное поле, то каждая сепарабельная И. связных коммутативных групповых схем конечного типа f: [img: http://localhost:8080/file/021004-60.jpg] пропускается через И. р: [img: http://localhost:8080/file/021004-61.jpg] где р = F-idG, a F - Фробениуса эндоморфизм. Примером несепарабельной И. является гомоморфизм умножения на n=р r абелева многообразия А. Локализация аддитивной категории (k)абелевых многообразий над полем котносительно И. определяет абелеву категорию М(k), ее объекты наз. абелевыми многообразиями с точностью до изогении. Каждый такой объект можно отождествить с абелевым многообразием А, а морфизмами [img: http://localhost:8080/file/021004-62.jpg] в М(k)служат элементы векторного пространства над полем рациональных чисел [img: http://localhost:8080/file/021004-63.jpg] И. f: A->A' определяет изоморфизм соответствующих объектов в М(k). Категория М(k)полупроста: каждый ее объект изоморфен произведению неразложимых объектов. В случае, когда k- конечное поле, имеется полное описание категории М(k)(см. [4]). Понятие И. определяется также и для формальных групп. Морфизм f: [img: http://localhost:8080/file/021004-64.jpg] формальных групп над полем kназ. И., если его образ в факторкатегории Ф (k)категории формальных групп над kотносительно подкатегории артиновых формальных групп является изоморфизмом. И. групповых схем определяет И. соответствующих формальных пополнений. Имеется описание категории Ф (k)формальных групп с точностью до И. (см. [1], [5]).